Version vom 16.05.2013 - ZIB

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Literaturverzeichnis Diese Darstellung von x ist eine konische Kombination, denn µi ≥ 0 =⇒ λi − λ1 µi ≥ 0, µi < 0 =⇒ λi µi µ1 ≤ λ1 µ1 =⇒ λi ≥ λ1 µi, also kann x mit weniger als d Extremalen konisch dargestellt werden, Widerspruch zur Minimalität! Da ein Kegel höchstens dim(K) linear unabhängige Vektoren enthält, folgt d ≤ dim(K). Setzen wir yi = λiei, i = 1, . . . , d, so sind die Vektoren yi Extremalen von K mit der gewünschten Eigenschaft. ✷ (1.60) Korollar. Ist P ⊆ K n ein spitzes Polyeder und ist x ∈ P , dann gibt es Ecken v0, v1, . . . , vk und Extremalen ek+1, ek+2, . . . , ed von P mit d ≤ dim(P ) und nichtnegative Skalare λ0, . . . , λk mit k i=0 λi = 1, so dass gilt x = k i=0 λivi + d i=k+1 Beweis. Nach (1.47) ist hog(P ) ein spitzer Kegel, und die Dimension von hog(P ) ist dim(P )+1. Nach (1.46) gilt x ∈ P ⇐⇒ x x 1 ∈ hog(P ). Nach Satz (1.59) ist 1 konische Kombination von d + 1 ≤ dim(P ) + 1 Extremalen von hog(P ). O. B. d. A. können wir annehmen, dass gilt k x yi = + 1 d ei , 0 i=0 λi i=k+1 wobei λi > 0, i = 0, . . . , k. Für vi := 1 λi yi gilt dann x = k i=0 λivi + d i=k+1 ei, ei. µ1 k λi = 1. Ferner sind nach (1.51) die Vektoren vi Ecken von P und die Vektoren ei Extremalen von P . Also haben wir die gewünschte Kombination von x gefunden. ✷ Das folgende direkte Korollar von (1.60) wird in der Literatur häufig Satz von Caratheodory genannt. (1.61) Korollar. Ist P ⊆ K n ein Polytop, dann ist jedes Element von P Konvexkombination von höchstens dim(P ) + 1 Ecken von P . △ Literaturverzeichnis A. Bachem and M. Grötschel. New aspects of polyhedral theory. In B. Korte, editor, Modern Applied Mathematics – Optimization and Operations Research. North-Holland, Amsterdam, 1982. 30 i=0 △
Literaturverzeichnis J. Bochnak, M. Coste, and M.-F. Roy. Real algebraic geometry. Springer, 1998. H. Bosse, M. Grötschel, and M. Henk. Polynomial inequalities representing polyhedra. Mathematical Programming, 103(1):35–44, May 2005. B. Grünbaum. Convex Polytopes, volume 221 of Graduate Texts in Mathematics. Springer, 2nd edition, 2003. J. Matoušek. Lectures on Discrete Geometry, volume 212 of Graduate Texts in Mathematics. Springer, 2002. G. M. Ziegler. Lectures on Polytopes, volume 152 of Graduate Texts in Mathematics. Springer, 2010. 31
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