Version vom 16.05.2013 - ZIB
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2 Matroide und Unabhängigkeitssysteme<br />
m) repräsentierende Matrix A erhält man wie folgt: A hat m Zeilen und n Spalten.<br />
Die i-te Zeile „repräsentiert“ das i-te Basiselement ei, 1 ≤ i ≤ m, die j-te Spalte das<br />
j-te Element ej, 1 ≤ j ≤ n, von E; A hat die folgende Form (genannt Standardform<br />
oder Standardrepräsentation):<br />
A = (Im, B),<br />
wobei Im die (m, m)-Einheitsmatrix ist. Die j-te Spalte von A, m + 1 ≤ j ≤ n, wird<br />
wie folgt konstruiert. Fügt man das Element ej zur Basis T hinzu, so kann man<br />
beweisen, dass genau ein Zirkuit entsteht, genannt das Fundamentalzirkuit zu ej.<br />
Für das graphische Matroid des Beispielgraphen in Abbildung 2.1 ergibt sich so die<br />
folgende Standardrepräsentation:<br />
7<br />
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10<br />
1 1 0 0 0 0 0<br />
2 1 0 0 1 1 1 0<br />
3 1 0 1 0 1 0<br />
4 0 1 1 1 1 0 0<br />
5 1 1 1 0 0 0<br />
8<br />
3<br />
5<br />
2<br />
4<br />
9<br />
Abbildung 2.1: Graph mit 10 Kanten<br />
Es folgt nun eine Liste weiterer interessanter Matroide.<br />
(2.9) Beispiel.<br />
(a) Cographische Matroide<br />
Gegeben sei ein Graph G = (V, E). Ein Cokreis ist eine Kantenmenge, deren Entfernung<br />
aus G die Komponentenzahl erhöht und die (mengeninklusionsweise) minimal<br />
bezüglich dieser Eigenschaft ist. Ein Schnitt ist eine Kantenmenge der Form<br />
40<br />
6<br />
δ(W ) = {ij ∈ E | i ∈ W, j ∈ V \ W }, W ⊆ V.<br />
1<br />
10<br />
△