Version vom 16.05.2013 - ZIB
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2 Matroide und Unabhängigkeitssysteme<br />
Die Menge aller Basen der Grundmenge E heißt Basissystem (bzgl. I) und wird mit B<br />
bezeichnet.<br />
Für jede Menge F ⊆ E heißt die ganze Zahl<br />
r(F ) := max{|B| | B Basis von F }<br />
Rang von F . Die Rangfunktion r ist also eine Funktion, die 2 E in die nicht-negativen<br />
ganzen Zahlen abbildet.<br />
Offenbar induziert jedes Unabhängigkeitssystem I auf E ein eindeutig bestimmtes Zirkuitsystem,<br />
ein eindeutig bestimmtes Basissystem und eine eindeutig bestimmte Rangfunktion.<br />
Es gilt auch die Umkehrung, wie wir nachfolgend (ohne Beweis) skizzieren.<br />
Zirkuitsysteme und Basissysteme sind nach Definition Antiketten (Clutter), d. h. Systeme<br />
von Mengen, so dass keine zwei Mengen ineinander enthalten sind.<br />
Ist B = ∅ eine Antikette auf E, so ist<br />
I := {I ⊆ E | ∃B ∈ B mit I ⊆ B}<br />
ein Unabhängigkeitssystem auf E, und B ist das zu I gehörige Basissystem.<br />
Ist C = {∅} eine Antikette auf E, so ist<br />
I := {I ⊆ E | I enthält kein Element von C} (2.2)<br />
ein Unabhängigkeitssystem, und C ist das zu I gehörige Zirkuitsystem.<br />
Die oben definierte Rangfunktion hat folgende Eigenschaften. Sie ist subkardinal, d. h.<br />
für alle F ⊆ E gilt<br />
r(F ) ≤ |F |,<br />
sie ist monoton, d. h. für alle F, G ⊆ E gilt<br />
F ⊆ G =⇒ r(F ) ≤ r(G),<br />
und sie ist stark subadditiv, d. h. für alle F ⊆ E, für alle ganzen Zahlen k ≥ 1, für alle<br />
endlichen Indexmengen K ⊆ N und für alle Familien (Fi)i∈K von Teilmengen von F mit<br />
der Eigenschaft, dass |{i ∈ K | e ∈ Fi}| = k für alle e ∈ F , gilt<br />
k · r(F ) ≤ <br />
r(Fi).<br />
Ist r : 2 E → Z+ eine subkardinale, monotone, stark subadditive Funktion, so ist<br />
i∈K<br />
I := {I ⊆ E | r(I) = |I|}<br />
ein Unabhängigkeitssystem, dessen Rangfunktion die Funktion r ist.<br />
Unabhängigkeitssysteme I auf einer Grundmenge E definieren also mathematische<br />
Strukturen, die äquivalent durch Zirkuitsysteme, Basissysteme oder Rangfunktionen gegeben<br />
werden können. Unabhängigkeitssysteme sind sehr allgemeine Objekte und besitzen<br />
zu wenig Struktur, um tiefliegende Aussagen über sie machen zu können.<br />
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