BuMa_2011_02 - Deutsche Bunsengesellschaft für Physikalische ...

DEUTSCHE BUNSEN-GESELLSCHAFT
Bruno Boddenberg
Die Besprechung von Transporteigenschaften (Diffusion, Viskosität,
thermische Leitfähigkeit) sowie die gaskinetische Herleitung
der entsprechenden Transportkoeffi zienten für Gase ist
ein wichtiges Anliegen der physikalisch-chemischen Lehre.
Die Transportkoeffi zienten D (Diffusionskoeffi zient), h (Viskositätskoeffi
zient) und l (thermischer Leitfähigkeitskoeffi zient)
sind wie folgt defi niert [1]
1
d N
J Materie D
dz
(1a)
dx
J x Komponente des
Inpulses
dz
(1b)
dT
J Energie
.
dz
(1c)
Bei der Formulierung dieser Gleichungen ist die z–Achse eines
Koordinatensystems in Richtung des Flussvektors J gewählt, die
x–Achse liegt in Richtung der laminaren Strömung (Gleichung
(1b)). In Gleichung (1a) bedeutet „Materie“ konkret „Teilchen“.
Verwendet man hierfür „Masse“ oder „Stoffmenge“, so bleibt D
hiervon unbeeinfl usst, sofern man die Teilchendichte 1 N durch
die Massendichte r bzw. die Stoffmengendichte (Konzentration)
c ersetzt. Zur Ermittlung der gaskinetischen Ausdrücke für D,
h und l behandelt man in Lehrbüchern die unterschiedlichen
Transportarten in der Regel getrennt und stellt dann die Beziehung
zwischen den so ermittelten Transportkoeffi zienten her.
Weniger anschaulich, dafür jedoch rationeller und den gemeinsamen
Aspekt der drei Transportarten betonend, formuliert man eine
allgemeine Transportgleichung, die in [2] so aufgeschrieben ist:
J a
grad
, (2)
wobei G die transportierte Größe (wie in (1a) bis (1c) benannt)
und a einen allgemeinen Transportkoeffi zienten bezeichnet.
Wir analysieren Gleichung (2). Die transportierte Größe G, i. e. Teilchen/Masse/Stoffmenge,
Impuls oder Energie, ist notwendigerweise
eine extensive Größe; intensive Größen wie beispielsweise
Temperatur, Druck und Dichte können nicht transportiert werden.
Andererseits kann nur von intensiven Größen, die ein Skalarfeld
darstellen, ein Gradient gebildet werden. Es macht daher nur
Sinn, die allgemeine Transportgleichung so zu formulieren:
UNTERRICHT
DIE ALLGEMEINE TRANSPORTGLEICHUNG:
ANMERKUNGEN ZU DEREN DEFINITION UND NÜTZLICHKEIT.
Prof. Dr. Bruno Boddenberg
Böckmannstraße 18, D – 44287 Dortmund
Tel.: +49-231-457407, Fax: +49-231-5336705
E-Mail: bruno.boddenberg@physicalchemistry.net
1
J a
grad
, (3a)
oder, unter Verwendung des oben eingeführten Koordinatensystems,
1
d
J a
. (3b)
dz
Dabei bezeichnet 1G die der jeweiligen transportierten Größe G
zugehörige Dichte, d. h. die Teilchendichte 1 N /Massendichte
r/Stoffmengendichte c , die Impulsdichte 1 P oder die Energiedichte
1 E.
Der Vergleich von (3b) mit (1a) zeigt, dass der Koeffi zient a mit
dem Diffusionskoeffi zienten D zu identifi zieren ist. Für die Impuls-
und Energiedichte erhält man aus elementaren Überlegungen
Px N m
x
x
1 1
1 1 u
und E N
N A
und für deren Gradienten ergibt sich
d x
1
Px
d
dz dz
und
u
M
, (4a)
1
d E dUu
dT cV
dT
.
(4b)
dz M dT dz M dz
In diesen Gleichungen sind m die Masse eines Teilchens, M die
molare Masse, u die molare Energie, cV die molare Wärmekapazität.
Verwendet man diese Ausdrücke in (3b) und vergleicht
mit (1b) und (1c), so erhält man die bekannten Beziehungen
cV cV D;
D;
. (5)
M
M
Diese Beziehungen vereinfachen die Ermittlung der gaskinetischen
Ausdrücke der Transportkoeffi zienten erheblich; die gaskinetischen
Überlegungen brauchen nämlich nur für eine Transportart,
beispielsweise für die Diffusion, angestellt zu werden.
1
In diesem Fall ergibt die elementare Theorie: D v
3
(v: mittlere thermische Geschwindigkeit; L: mittlere freie Weglänge).
Im Übrigen ist deutlich, dass die in (5) notierten Beziehungen
nicht ein Charakteristikum von Gasen sind, sondern allgemein
aus den Transportgleichungen folgen.
LITERATUR
[1] P. W. Atkins, J. de Paula: Physikalische Chemie.
Weinheim: Wiley-VCH 2006.
[2] G. Wedler: Lehrbuch der Physikalischen Chemie.
Weinheim: Wiley-VCH 2004.
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