Theoretische Physik I: Mechanik

Prof. Dr. J. Berges
Institut für Kernphysik
Theoretische Physik I:
Mechanik
WS 2009/2010
1. Klausur
Name: Matrikelnr.:
Aufgabe 1 2 3 4 5 gesamt
erreichbare Punktzahl 2 5 4 3 5 19
erreichte Punktzahl
17. Dezember 2009
Achten Sie bitte unbedingt darauf, dass Sie Ihren Namen und Ihre Matrikelnummer
in die dafür vorgesehenen Felder eintragen, und schreiben Sie Ihren Namen auf jedes
verwendete Blatt. Geben Sie am Ende alle Blätter inklusive Deckblatt zusammen ab.
Aufgabe 1 (2 Punkte):
Betrachten Sie die folgenden differentiellen Zwangsbedingungen für die Koordinaten x,y,z:
a) dz − 2a(xdx + y dy) = 0 (mit einer beliebigen Konstanten a),
b) 3dx + 5xdy + dz = 0.
Sind die Zwangsbedingungen holonom? Begründen Sie Ihre Antwort.
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Aufgabe 2 (5 Punkte):
a) Auf ein Teilchen wirke eine Kraft F. Wie ist die Arbeit definiert, die an dem Teilchen
geleistet wird? Wie lässt sie sich als gewöhnliches Integral für eine als Funktion der
Zeit gegebene Bahn r(t) schreiben?
b) Zeigen Sie, dass für die Kraft
die geleistete Arbeit vom Weg unabhängig ist.
F = −αr 2 r (∗)
c) Geben Sie ein Potenzial an, aus dem die Kraft (∗) folgt. Stellen Sie eine Lagrange-
Funktion in geeigneten Koordinaten für ein Teilchen der Masse m auf, das sich in
diesem Potenzial bewegt, und bestimmen Sie die Erhaltungsgrößen dieses Systems.
d) Kann man für α > 0 mit diesem Potenzial einen Streuprozess beschreiben? Diskutieren
Sie für α > 0 die möglichen Bahnen, auf denen sich das Teilchen bewegen kann,
graphisch unter Verwendung des ” effektiven Potenzials“.
Aufgabe 3 (4 Punkte):
Eine Perle als Massenpunkt mit Masse m bewegt
sich reibungsfrei auf einer Schraubenlinie
mit Radius R, deren Symmetrieachse
die z-Achse sei. Nach einer vollen Umdrehung
um die z-Achse unterscheide sich der
z-Wert des Massenpunkts um a. Die Schwerkraft
wirkt in negativer z-Richtung.
a) Geben Sie die Zwangsbedingungen an.
b) Geben Sie die Lagrange-Gleichung zweiter
Art an.
c) Lösen Sie die Bewegungsgleichung für den
Fall, dass sich der Massenpunkt zum Zeitpunkt
t = 0 bei z = 0 befindet und
eine verschwindende Anfangsgeschwindigkeit
hat.
z
R
m
a
y
x
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Aufgabe 4 (3 Punkte):
Betrachten Sie eine homogene Kugelschale mit Massendichte ρ, innerem Radius r und
äußerem Radius R. Berechnen Sie die Hauptträgheitsmomente der Kugelschale bezüglich
eines körperfesten Bezugssystems mit Ursprung im Mittelpunkt der Kugelschale.
Aufgabe 5 (5 Punkte):
Ein Wagen bewegt sich entlang der x-Achse auf der Bahn x(t). Auf dem Wagen ist ein
Fadenpendel mit Masse m und (masselosem) Faden der Länge L befestigt, auf das die
Gewichtskraft in negativer z-Richtung wirkt.
z
a) Geben Sie die Lagrange-Funktion als Funktion der Koordinaten im körperfesten Bezugssystem
des Wagens an. Bestimmen Sie die Lagrange-Gleichung zweiter Art.
b) Der Wagen werde mit konstanter Beschleunigung a < g bewegt. Berechnen Sie die
Frequenz, mit der das Pendel um seine durch ϕ0 bestimmte Ruhelage im körperfesten
Bezugssystem schwingt, in der Näherung kleiner Auslenkungen aus der Ruhelage.
Schreiben Sie die Auslenkung des Pendels dazu in der Form ϕ = ϕ0+Θ und linearisieren
Sie die Bewegungsgleichung in Θ.
Hinweis: Benutzen Sie die Identitäten
ϕ
x(t)
sin(ϕ0 + Θ) = cos(ϕ0)sin(Θ) + sin(ϕ0)cos(Θ),
cos(ϕ0 + Θ) = cos(ϕ0)cos(Θ) − sin(ϕ0)sin(Θ).
L
m
x
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