Spin- und Ortsraum-Wellenfunktion

Spin- und Ortsraum-Wellenfunktion 

◮ Der Spin ,,lebt” in einem unabhängigen abstrakten Raum. 

02.07.2013 | Michael Buballa | 1



◮ Gesamtwellenfunktion, z.B. eines Elektrons (s = 1 2 ): 

◮ ψ(⃗x, t) Ortsraum-Wellenfunktion (wie bisher) 

( ) 

c↑ (t) 

◮ χ(t) = Spinraum-Wellenfunktion 

c ↓ (t) 

Ψ ges(⃗x, t) = ψ(⃗x, t)χ(t) 






( ) 

c↑ (t) 


c ↓ (t) 

Ψ ges(⃗x, t) = ψ(⃗x, t)χ(t) 

◮ Quantenzahlen des Wasserstoff-Atoms: 

(n,l, m, m 

} {{ } s ) (+ Kernspin) 

Ort 

}{{} 

Spin 






( ) 

c↑ (t) 


c ↓ (t) 

Ψ ges(⃗x, t) = ψ(⃗x, t)χ(t) 


◮ Bisher enthielt Ĥ keine Spin-Operatoren 

(n,l, m, m 

} {{ } s ) (+ Kernspin) 

Ort 

}{{} 


⇒ m s = ± 1 2 entartet 






( ) 

c↑ (t) 


c ↓ (t) 

Ψ ges(⃗x, t) = ψ(⃗x, t)χ(t) 



(n,l, m, m 

} {{ } s ) (+ Kernspin) 

Ort 

}{{} 



◮ Aufhebung der Entartung: 

◮ externes Magnetfeld: 

V ∼ ⃗ B · ˆ⃗ S = 

 

2 

( 

Bxσ x + B yσ y + B zσ z 

) 






( ) 

c↑ (t) 


c ↓ (t) 

Ψ ges(⃗x, t) = ψ(⃗x, t)χ(t) 



(n,l, m, m 

} {{ } s ) (+ Kernspin) 

Ort 

}{{} 



◮ Aufhebung der Entartung: 

◮ externes Magnetfeld: 

V ∼ ⃗ B · ˆ⃗ S = 

 

2 

( 

Bxσ x + B yσ y + B zσ z 

) 

◮ ,,Spin-Bahn-Kopplung”: V LS ∼ ˆ⃗ L· ˆ⃗ S (→ ,,Feinstruktur”) 


5.3 Addition von Drehimpulsen am Beispiel des 

Spins 

◮ Beispiel: 

Elektron und Proton im Grundzustand des H-Atoms 




◮ Beispiel: 


◮ Unabhängige Spin-Operatoren ˆ⃗ S (e) und ˆ⃗ S 

(p) 




◮ Beispiel: 



(p) 

◮ Beide Spins können gleichzeitig gemessen werden. 

⇒ [Ŝ (e) 

i 

, Ŝ (p) 

j 

] = 0 




◮ Beispiel: 



(p) 


⇒ [Ŝ (e) 

i 

, Ŝ (p) 

j 

] = 0 

◮ Def.: 

ˆ⃗S = ˆ⃗ S (e) + ˆ⃗ S 

(p) 

,,Gesamt-Spin” 




◮ Beispiel: 



(p) 


⇒ [Ŝ (e) 

i 

, Ŝ (p) 

j 

] = 0 

◮ Def.: 

ˆ⃗S = ˆ⃗ S (e) + ˆ⃗ S 

(p) 

,,Gesamt-Spin” 

◮ Man kann nachrechnen: 

◮ [Ŝ x, Ŝ y] = iŜ z , [Ŝ y, Ŝ z] = iŜ x , [Ŝ z, Ŝ x] = iŜ y 

◮ [ ˆ⃗ S 2 , Ŝ x] = [ ˆ⃗ S 2 , Ŝ y] = [ ˆ⃗ S 2 , Ŝ z] = 0 

d.h. ˆ⃗ S ist wirklich ein Spin-Operator! 


◮ gem. Eigenzustände von ˆ⃗ S 

(e) 2 und Ŝ (e) 

z : | 1 2 , m e〉 e 


(p) 2 und Ŝ (p) 

z : | 1 2 , m p〉 p 




z : | 1 2 , m e〉 e 



z : | 1 2 , m p〉 p 

◮ unabhängige Spin-Räume 

⇒ Ŝ (e) 

i 

wirkt nicht auf | 1 2 , m p〉 p und umgekehrt. 




z : | 1 2 , m e〉 e 



z : | 1 2 , m p〉 p 


⇒ Ŝ (e) 

i 


◮ Wie sehen die gemeinsamen Eigenzustände von ˆ⃗ S 2 und Ŝ z aus? 




z : | 1 2 , m e〉 e 



z : | 1 2 , m p〉 p 


⇒ Ŝ (e) 

i 



◮ Ansatz: Produktzustände |m e , m p 〉 ≡ | 1 2 , m e〉 e ⊗| 1 2 , m p〉 p 

→ vier Basiszustände: |↑,↑〉, |↑,↓〉, |↓,↑〉, |↓,↓〉 




z : | 1 2 , m e〉 e 



z : | 1 2 , m p〉 p 


⇒ Ŝ (e) 

i 





◮ Ŝ z |m e , m p 〉 = Ŝ z 

(e) |m e , m p 〉 + Ŝ z (p) |m e , m p 〉 = (m e + m p )|m e , m p 〉 




z : | 1 2 , m e〉 e 



z : | 1 2 , m p〉 p 


⇒ Ŝ (e) 

i 





◮ Ŝ z |m e , m p 〉 = Ŝ z 

(e) |m e , m p 〉 + Ŝ z (p) |m e , m p 〉 = (m e + m p )|m e , m p 〉 

⎧ 

⎪⎨ |↑,↑〉 m s = 1 

⇒ |↑,↓〉, |↓,↑〉 m s = 0 

⎪⎩ 

|↓,↓〉 m s = −1 


◮ Anwendung von Leiter-Operatoren: 

◮ Ŝ +|↑,↑〉 = Ŝ (e) 

+ |↑,↑〉 + Ŝ (p) 

+ |↑,↑〉 = 0 + 0 = 0 

⇒ |↑,↑〉 ist der höchst-mögliche m s-Zustand zu gegebenem s 

⇒ |↑,↑〉 = |s = 1, m s = 1〉 



◮ Ŝ +|↑,↑〉 = Ŝ (e) 

+ |↑,↑〉 + Ŝ (p) 

+ |↑,↑〉 = 0 + 0 = 0 


⇒ |↑,↑〉 = |s = 1, m s = 1〉 

◮ analog: Ŝ −|↓,↓〉 = 0 ⇒ |↓,↓〉 = |s = 1, m s = −1〉 



◮ Ŝ +|↑,↑〉 = Ŝ (e) 

+ |↑,↑〉 + Ŝ (p) 

+ |↑,↑〉 = 0 + 0 = 0 


⇒ |↑,↑〉 = |s = 1, m s = 1〉 

◮ analog: Ŝ −|↓,↓〉 = 0 ⇒ |↓,↓〉 = |s = 1, m s = −1〉 

◮ |s = 1, ms = 0〉 ∼ Ŝ −|↑,↑〉 = Ŝ (e) 

− 

|↑,↑〉 + Ŝ(p) |↑,↑〉 = |↓,↑〉 +|↑,↓〉 

− 



◮ Ŝ +|↑,↑〉 = Ŝ (e) 

+ |↑,↑〉 + Ŝ (p) 

+ |↑,↑〉 = 0 + 0 = 0 


⇒ |↑,↑〉 = |s = 1, m s = 1〉 

◮ analog: Ŝ −|↓,↓〉 = 0 ⇒ |↓,↓〉 = |s = 1, m s = −1〉 

◮ |s = 1, ms = 0〉 ∼ Ŝ −|↑,↑〉 = Ŝ (e) 

− 

⇒ normierte Spin-1-Zustände (,,Triplett”): 

|s = 1, m s = 1〉 = |↑,↑〉 

( ) 

|s = 1, m s = 0〉 = √ 1 

2 |↑,↓〉 +|↓,↑〉 

|s = 1, m s = −1〉 = |↓,↓〉 

|↑,↑〉 + Ŝ(p) |↑,↑〉 = |↓,↑〉 +|↑,↓〉 

− 


◮ Da wir ursprünglich zwei m = 0-Zustände hatten (|↑,↓〉 und |↓,↑〉), gibt es 

noch einen weiteren Basis-Zustand, der zu |s = 1, m s = 0〉 orthogonal ist: 

|ξ〉 = 1 √ 

2 

( 

|↑,↓〉−|↓,↑〉 

) 




|ξ〉 = 1 √ 

2 

( 

|↑,↓〉−|↓,↑〉 

) 

◮ Man kann nachrechnen: Ŝ + |ξ〉 = Ŝ − |ξ〉 = 0 ⇒ |ξ〉 = |s = 0, m s = 0〉 




|ξ〉 = 1 √ 

2 

( 

|↑,↓〉−|↓,↑〉 

) 


⇒ normierter Spin-0-Zustände (,,Singulett”): 

( ) 

|s = 0, m s = 0〉 = √ 1 

2 |↑,↓〉−|↓,↑〉 




|ξ〉 = 1 √ 

2 

( 

|↑,↓〉−|↓,↑〉 

) 


⇒ normierter Spin-0-Zustände (,,Singulett”): 

( ) 

|s = 0, m s = 0〉 = √ 1 

2 |↑,↓〉−|↓,↑〉 

◮ also: zwei Spin- 1 -Teilchen koppeln zu Spin 0 oder zu Spin 1 

2 

◮ Spin-0-Singulett: 

◮ Spin-1-Triplett: 

antisymmetrisch unter Vertauschung 

symmetrisch unter Vertauschung

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