MATHEMATIK II F¨UR ET/IT UND ITS IM SS 2008 Inhaltsverzeichnis ...
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<strong>MATHEMATIK</strong> <strong>II</strong> FÜR <strong>ET</strong>/<strong>IT</strong> <strong>UND</strong> <strong>IT</strong>S <strong>IM</strong> <strong>SS</strong> <strong>2008</strong> 9<br />
1<br />
0,5<br />
-1,5 - -0,5 0 0,5 1,5<br />
Fourierentwicklung des<br />
Zweiweg-gleichgerichteten<br />
Sinus<br />
-0,5<br />
Abbildung 5. Fourierapproximation von |sinx|<br />
1<br />
0,5<br />
-1,5 - -0,5 0 0,5 1,5<br />
Fourierentwicklung<br />
des<br />
Rechteckimpuls<br />
-0,5<br />
-1<br />
Gibbssches<br />
Phänomen<br />
Abbildung 6. Fourierapproximation des symmetrischen Rechteckimpuls<br />
Beispiel 14. Die Fourierreihe der 2π-periodischen Fortsetzung der Funktion<br />
<br />
g : [−π, π) → R, g(x) =<br />
h<br />
−h<br />
(x ≥ 0)<br />
(x < 0)<br />
mit h ≥ 0 ist<br />
g(x) ∼ 4h<br />
π<br />
∞<br />
m=0<br />
sin(2m + 1)x<br />
,<br />
2m + 1<br />
denn g(x) = 2h(f(x) − 1/2) mit dem Rechteckimpuls f aus Beispiel 9.<br />
1.7. Darstellungssatz. In diesem Abschnitt zeigen wir, dass die Fourierreihe einer<br />
stückweise differenzierbaren, 2π-periodischen Funktion fast überall punktweise<br />
gegen die Ausgangsfunktion konvergiert und diese Konvergenz auf jedem abgeschlossenen<br />
Intervall ohne Sprungstellen sogar gleichmäßig ist.
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