MATHEMATIK II F¨UR ET/IT UND ITS IM SS 2008 Inhaltsverzeichnis ...

MATHEMATIK II FÜR ET/IT UND ITS IM SS 2008 3
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-4 -3 -2 - 0 2 3 4
Abbildung 1. 2π-periodische Fortsetzung von f(x) = x für x ∈ [−π, π)
-6 -5 -4 -3 -2 - 0 2 3 4 5 6
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Abbildung 2. 2π-periodische Fortsetzung von f(x) = x für x ∈ [−π, π)
-6 -5 -4 -3 -2 - 0 2 3 4 5 6
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Abbildung 3. 2π-periodische Fortsetzung von f(x) = |x| für x ∈ [−π, π]
Definition 2. Die L-periodische Fortsetzung einer auf einem Intervall [a,b)
oder (a,b] der Länge L, d.h. b − a = L, definierten Funktion f ist gegeben durch
x + kL ↦→ f(x) für x ∈ [a,b) und k ∈ Z.
Beispiel 5 (Rechteckimpuls). Der Rechteckimpuls
f : [−π, π) → R, f(x) =
1
0
x ≥ 0
x < 0
hat die 2π-periodische Fortsetzung (wie in Abbildung 1)
f(x + 2kπ) =
1
0
0 ≤ x < π, k ∈ Z
−π ≤ x < 0, k ∈ Z .
Beispiel 6 (Sägezahnkurve). Die Funktion f(x) : [−π, π) → R, f(x) = x hat die
2π-periodische Fortsetzung f(x + 2kπ) = x für x ∈ [−π, π), k ∈ Z (Abbildung 2).
Beispiel 7 (Dreieckskurve). Die2π-periodische Fortsetzung der Funktion f(x) :
[−π, π) → R, f(x) = |x| ist f(x + 2kπ) = |x| für x ∈ [−π, π), k ∈ Z (Abbildung 3).
1.3. Warum Fourierreihen? Wir kennen bereits die Taylorreihenentwicklung als
eine Methode, um eine Funktionen f zu approximieren. Hier sollen Taylorreihen und
Fourierreihen verglichen werden.
Um eine Funktion f in eine Taylorreihe ∞ n=0 an(x − x0) n um einen Punkt x0
entwickeln zu können, muss f in x0 glatt sein. Die Koeffizienten an hängen nur