MATHEMATIK II F¨UR ET/IT UND ITS IM SS 2008 Inhaltsverzeichnis ...

MATHEMATIK II FÜR ET/IT UND ITS IM SS 2008 7
1.5. Gerade und ungerade Funktionen. Wenn man die Symmetrien der Funktion
beachtet, kann man ihre Fourierreihe schneller berechnen.
Definition 4. Eine auf R definierte Funktion f heißt gerade, wenn f(x) = f(−x)
für alle x ∈ R. Sie heißt ungerade, wenn f(−x) = −f(x) für alle x ∈ R.
An den Symmetrien des Graphen einer Funktion kann man leicht erkennen, ob
die Funktion gerade oder ungerade ist. Der Graph einer geraden Funktion ist symmetrisch
bezüglich Spiegelung an der y-Achse. Der Graph einer ungeraden Funktion
ist symmetrisch bezüglich Drehung um den Ursprung um 180 ◦ .
Beispiel 10. Gerade 2π-periodische Funktionen sind cos nx, Dreieckskurve, |sin x|.
Beispiel 11. Ungerade 2π-periodische Funktionen sind sinnx, Sägezahnkurve und
die 2π-periodische Fortsetzung der Funktion
f : [−π, π) → R, f(x) = 2χ [0,π) − 1 =
1
−1
(x ≥ 0)
(x < 0) .
Lemma 2. Wenn f eine ungerade integrierbare Funktion ist, dann gilt
a
f(x)dx = 0
für alle a > 0.
Beweis. Es gilt
a
f(x)dx =
−a
=
0
−a
0
a
−a
a
f(x)dx + f(x)dx =
0
0
a
a
−f(−y)dy + f(x)dx
a a a
f(y)dy + f(x)dx = − f(y)dy + f(x)dx = 0
0
mit x = −y, dx = −dy, da f(−y) = −f(y) und sich bei der Vertauschung der
Integrationsgrenzen das Vorzeichen des Integrals ändert.
Folgerung 1. Es sei a0
n=1 an cos nx+bn sinnx die Fourierreihe einer stückweise
stetigen, 2π-periodischen Funktion. Wenn f ungerade ist, dann an = 0 für
alle n ∈ N. Wenn f gerade ist, dann bn = 0 für alle n ∈ N.
2 + ∞
Beweis. Wenn f ungerade ist, dann ist f(x) cos nx eine ungerade Funktion. Wenn
f gerade ist, dann ist f(x) sinnx eine ungerade Funktion.
Beispiel 12 (Fourierreihe der Sägezahnkurve). Die Funktion f : (−π, π) → R,
f(x) = x ist ungerade. Darum gilt für die Fourierkoeffizienten an = 0 und
bn = 1
π
xsinnxdx =
π −π
1
−
π
x
π cos nx +
n −π
1
π
cos nxdx
n −π
= 1
n+1 2π
(−1) + 0 = 2
π n (−1)n+1
,
n
wegen der Orthogonalitätsrelation π
cos nxdx = 0. Die Fourierreihe der 2π-
−π
periodischen Fortsetzung von f(x) = x ist also die Reihe
∞
n+1 sin nx
x ∼ 2 (−1) auf (−π, π).
n
n=1
0
0
0