MATHEMATIK II F¨UR ET/IT UND ITS IM SS 2008 Inhaltsverzeichnis ...

20 ANNETT PÜTTMANN
ab. Auf den restlichen Intervallen ist die zu integrierende Funktion stetig und man
hat gleichmäßige Konvergenz, also
lim
h→0
π
−π
|g(t+h−x) −g(t −x)|dx = 0, lim
h→0
π
−π
|g ′ (t+ξh −x) −g(t −x)|dx = 0....
Satz 6 (Fourierreihe des Faltungsprodukts). Wenn f und g stückweise stetige,
2π-periodische Funktionen mit den Fouriereihen
∞
f ∼ cke ikx ∞
und g ∼ dke ikx
k=−∞
k=−∞
sind, dann hat das Faltungsprodukt f ∗ g die Fourierreihe
f ∗ g ∼
∞
ckdke ikx .
Beweis. Es gilt
1
2π
π
−π
(f ∗ g)(x)e −ikx dx = 1
2π
= 1
2π
= 1
2π
= 1
2π
k=−∞
π π
1
f(t − x)g(x)dx e
−π 2π −π
−ikt dt
π
π
−π
π
−π
π
−π
g(x)e −inx
1
2π
g(x)e −ikx
1
2π
1.12. Vollständigkeit und Eindeutigkeit.
−π
π
−π
g(x)e −ikx ckdx = ck
2π
f(t − x)e −int e ikx
dt dx
f(t − x)e −ik(t−x)
dt dx
π
−π
g(x)e −ikx dx = ckdk.
Satz 7 (Vollständigkeitssatz). Es sei f : R → C eine 2π-periodische, stückweise
stetige Funktion. Wenn f in den Sprungstellen die Mittelwertbedingung erfüllt,
f(x) = 1
2 (f(x+ ) + f(x − )) ∀x ∈ R,
und alle Fouerierkoeffizienten von f verschwinden,
1
2π
π
−π
dann gilt f(x) = 0 für alle t ∈ R.
f(x)e −inx dx = 0 ∀n ∈ Z,
Beweis. Natürlich gilt der Satz für stückweise stetig differenzierbare Funktionen f,
weil dann die Fourierreihe von f punktweise gegen f konvergiert.
Angenommen f(x0) > 0 in einer Stetigkeitsstelle x0. Dann falten wir f mit einer
” cut-off“-Funktion ϕ. D.h. ϕ ist glatt, 2π-periodisch, ϕ(x0) = 1 und verschwindet
außerhalb einer kleinen Umgebung U0 von x0, auf der f positiv ist. Nach der Formel
für die Fourierkoeffizienten das Faltungsproduktes (Satz 6) verschwinden alle
Fourierkoeffizienten von f ∗ϕ. Dies ist ein Widerspruch, da die Funktion f ∗ϕ stetig
differenzierbar ist, also durch ihre Fourierreihe dargestellt wird, und
(f ∗ ϕ)(x0) = 1
2π
π
f(x0 − x)ϕ(x)dx =
−π
1
2π
U0
f(x0 − x)ϕ(x)dx > 0.