MATHEMATIK II F¨UR ET/IT UND ITS IM SS 2008 Inhaltsverzeichnis ...

MATHEMATIK II FÜR ET/IT UND ITS IM SS 2008 25
eine Norm definiert. Wir überprüfen die drei Eigenschaften Positivität, Ähnlichkeit
und die Dreiecksungleichung. Sie folgen aus den entsprechenden Eigenschaften für
die Betragsfunktion der reellen Zahlen.
• Positivität: Es sei x = (x1, ...,xn) ein Vektor im R n . Dann gilt ||x|| ≥ 0,
da x 2 j ≥ 0 für alle j. Außerdem gilt ||x|| = 0 genau dann, wenn xj = 0 für
alle j, also x = 0.
• Ähnlichkeit: Für λ ∈ R gilt
||λx|| = |λx1| 2 + . .. + |λxn| 2 = λ 2 |x1| 2 + . .. + |λ| 2 |xn| 2
= |λ| 2 (|x1| 2 + . .. + |xn| 2 ) = |λ| |x1| 2 + . .. + |xn| 2 = |λ|||x||
• Dreiecksungleichung: Für zwei Vektoren x,y ∈ R mit x = (x1, ...,xn) und
y = (yy, ...,yn) gilt:
0 ≤
(xjyk − xkyj) 2
j=k
2
xjyjxkyk ≤
x 2 jy 2 k + x 2 ky 2 j
j=k
n
j,k=1
n
j,k=1
xjyjxkyk ≤
j=k
n
j,k=1
x 2 jy 2 k
xjyjxkyk ≤ (x 2 1 + . ..x 2 n)(y 2 1 + . .. + y 2 n)
2
n
j=1
(x1 + y1) 2 + . .. + (xn + yn) 2 ≤
xjyj ≤ 2 x2 1 + . ..x2
n y2 1 + . .. + y2 n
n
j=1
x 2 j +
n
j=1
||x + y|| 2 ≤ ||x|| 2 + ||y|| 2 + 2||x||||y||
||x + y|| ≤ ||x|| + ||y||
y 2
j + 2 x2 1 + . ..x2
n y2 1 + . .. + y2 n
Beispiel 26 (Maximumnorm). Auf den Vektorräumen C([a,b], R) und C([a,b], C)
ist durch ||f||∞ := max{|f(x)| : x ∈ [a,b]} eine Norm definiert.
Auch auf den endlich dimensionalen Vektorräumen R n und C n kann man durch
||(x1, ...,xn)|| := max{xj : j = 1, ...,n} eine Norm definieren, die der Maximumnorm
auf dem unendlich dimensionalen Vektorraum C([a,b]) entspricht.
Wir überprüfen Positivität, Ähnlickeit und die Dreiecksungleichung für die Definition
der Maximumsnorm auf C([a,b], R). Für alle f ∈ C([a,b], R) gilt ||f||∞ ≥ 0,
denn |f(x)| ≥ 0 für alle x ∈ [a,b]. Außerdem ist ||f||∞ = 0 genau dann, wenn
|f(x)| = 0 für alle x ∈ [a,b], also f ≡ 0. Die Ähnlichkeit der Maximiumnorm folgt
direkt aus |λf(x)| = |λ||f(x)| für alle λ ∈ R und x ∈ [a,b]. Die Dreiecksungleichung
gilt für die Maximumnorm, weil max{|f(x) + g(x)| : x ∈ [a,b]} ≤ max{|f(x)| : x ∈
[a,b]} + max{|g(x)| : x ∈ [a,b]} für alle f, g ∈ C([a,b], R).
2.3. Umgebungen und Konvergenz. Wenn man den Begriff der Norm hat, dann
kann man Umgebungen (eine Topologie) definieren und Konvergenz diskutieren.
Einen Vektorraum, der mit einer Norm || || ausgestattet ist, nennt man einen normierten
Vektorraum.