Darstellung komplexer Zahlen in der Polarform

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Es gelten die folgenden Umrechnungsformeln: Polarform → Normalform Re z = ρ cos ϕ Im z = ρ sin ϕ Beispiel: z = 8 cis 135° = 8 ⋅ cos135° + isin135° = −2 + 2 Normalform → Polarform komplex_4_k 20.08.2012 20:49:00 ( ) i Beispiele zur Vorbereitung: 3 = 3 cis 0° i = cis 90° − 5 = 5 cis π − 1+ i = 2 cis 135 ° (halbes Quadrat) − 1+ 3i = 2 cis 120° (halbes gleichseitiges Dreieck) Allgemein: 2 2 z = α + iβ ≠ 0 ρ = α + β Das Argument ϕ ist so zu bestimmen, dass gilt: Im ( z) Re( z) sin ϕ = und cos ϕ = z z Variante: Im ( z) Falls Re (z) ≠ 0 tanϕ = Re( z) wobei in diesem Fall abzuklären ist, in welchen Quadrant z liegt. z = 3 - 4i = 5 cis 306.9° (4. Quadrant) z = -3i = 3 cis 270° 8
4. Multiplikation komplexer Zahlen in der Polarform z = ρ ⋅ cisϕ 1 1 1 z = ρ ⋅ cisϕ 2 2 2 ( ρ ϕ ) ( ρ ϕ ) ρ ρ ( ϕ sinϕ ) ( ϕ sinϕ ) ρ ρ ( cosϕ cosϕ sinϕ sinϕ ) i( sinϕ cosϕ cosϕ sinϕ ) z ⋅ z = ⋅cis ⋅ ⋅ cis = ⋅ ⋅ cos + i ⋅ cos + i 1 2 1 1 2 2 1 2 1 1 2 2 komplex_4_k 20.08.2012 20:49:00 ( ) = ⋅ ⋅ ⋅ − ⋅ + ⋅ + ⋅ 1 2 1 2 1 2 1 2 1 2 Mit den Additionstheoremen für sin und cos ergibt sich schliesslich: ( cos( ) sin ( ) ) ( ) z ⋅ z = ρ ⋅ ρ ⋅ ϕ + ϕ + i ϕ + ϕ = ρ ⋅ ρ ⋅ cis ϕ + ϕ 1 2 1 2 1 2 1 2 1 2 1 2 das heisst: Komplexe Zahlen werden multipliziert, indem man ihre Beträge multipliziert und ihre Argumente addiert. z z = z ⋅ z 1 ⋅ und arg( z ⋅ z ) = arg( z ) + arg( z ) 2 1 2 1 2 1 Die Multiplikation einer komplexen Zahl mit ρ cis ϕ bedeutet also geometrisch eine Drehstreckung mit dem Faktor ρ und dem Drehwinkel ϕ. Beispiele: (3 + 3i) (5 2 cis 135°) = (3 2 cis 45°)⋅(5 2 cis 135°) = 30 cis 180° = -30 1 z = 1+ i = 2cis45° z = ( 1+ i 3) = cis 60° 1 2 2 Wegen z ⋅ z = 2 cis 105° erhält man durch Multiplikation in der Normalform den genauen 1 2 2( 1+ 3) Wert für sin105 = ° und analog cos 105° 4 Das Produkt zweier komplexer Zahlen kann geometrisch ermittelt werden. Dazu betrachtet man ähnliche Dreiecke: Beispiel: z1 = 1.5 + 0.4i = 1.55 cis 14.9° z2 = 1.1 + 0.8i = 1.36 cis 36.0° z1z2 = 2.11 cis 50.9° Der absolute Betrag ρ des Produkts ρ = ρ1⋅ρ2 kann als Verhältnisgleichung ρ ρ1 geschrieben werden: = ρ 1 2 2 9
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