Darstellung komplexer Zahlen in der Polarform

4. Multiplikation komplexer Zahlen in der Polarform
z = ρ ⋅ cisϕ
1 1 1
z = ρ ⋅ cisϕ
2 2 2
( ρ ϕ ) ( ρ ϕ ) ρ ρ ( ϕ sinϕ ) ( ϕ sinϕ
)
ρ ρ ( cosϕ cosϕ sinϕ sinϕ ) i(
sinϕ cosϕ cosϕ sinϕ
)
z ⋅ z = ⋅cis ⋅ ⋅ cis = ⋅ ⋅ cos + i ⋅ cos + i
1 2 1 1 2 2 1 2 1 1 2 2
komplex_4_k 20.08.2012 20:49:00
( )
= ⋅ ⋅ ⋅ − ⋅ + ⋅ + ⋅
1 2 1 2 1 2 1 2 1 2
Mit den Additionstheoremen für sin und cos ergibt sich schliesslich:
( cos( ) sin ( ) ) ( )
z ⋅ z = ρ ⋅ ρ ⋅ ϕ + ϕ + i ϕ + ϕ = ρ ⋅ ρ ⋅ cis ϕ + ϕ
1 2 1 2 1 2 1 2 1 2 1 2
das heisst:
Komplexe Zahlen werden multipliziert, indem man ihre Beträge multipliziert und ihre
Argumente addiert.
z z = z ⋅ z
1
⋅ und arg( z ⋅ z ) = arg(
z ) + arg(
z )
2
1
2
1
2
1
Die Multiplikation einer komplexen Zahl mit ρ cis ϕ bedeutet also geometrisch eine
Drehstreckung mit dem Faktor ρ und dem Drehwinkel ϕ.
Beispiele:
(3 + 3i) (5 2 cis 135°) = (3 2 cis 45°)⋅(5 2 cis 135°) = 30 cis 180° = -30
1
z = 1+
i = 2cis45°
z = ( 1+
i 3)
= cis 60°
1
2
2
Wegen z ⋅ z = 2 cis 105°
erhält man durch Multiplikation in der Normalform den genauen
1
2
2(
1+
3)
Wert für sin105
=
° und analog cos 105°
4
Das Produkt zweier komplexer Zahlen kann geometrisch ermittelt werden. Dazu betrachtet
man ähnliche Dreiecke:
Beispiel:
z1 = 1.5 + 0.4i = 1.55 cis 14.9°
z2 = 1.1 + 0.8i = 1.36 cis 36.0°
z1z2 = 2.11 cis 50.9°
Der absolute Betrag ρ des Produkts
ρ = ρ1⋅ρ2 kann als Verhältnisgleichung
ρ ρ1
geschrieben werden: =
ρ 1
2
2
9