7. Quadratische Funktionen lineare Funktion: y = f (x) = ax + b Graph ...

7. Quadratische Funktionen
lineare Funktion: y = f (x) = ax + b Graph: Gerade mit der Steigung a und dem y-
Achsenabschnitt b
quadratische Funktion: y = f (x) = ax 2 + bx + c Graph: Parabel, sofern a ≠ 0
Es wird im Folgenden untersucht, wie die Parameter
a, b, c interpretiert werden können.
Spezialfälle:
a) y = f (x) = ax 2 Skizze: a = 1, 2 , 1 /4 , - 1 /4
Satz:
Der Graph der Funktion f: x → y = ax 2 , a ≠ 0
(Die Kurve mit der Gleichung y = ax 2 ) heisst
quadratische Parabel. Die y-Achse ist Symmetrieachse,
der Nullpunkt Scheitelpunkt der Parabel. Die Parabel ist
für a > 0 nach oben, für a < 0 nach unten geöffnet. Der
Parameter a bewirkt eine Dehnung oder Pressung der
Normalparabel y = x 2 in y-Richtung im
Verhältnis a:1 (normale Affinität zur x-Achse).
Hinweis:
Eine Ellipse ist das normalaffine Bild eines Kreises.
Aufgabe:
Bestimme den Parameter a so, dass die Parabel y = f (x) = ax 2 durch den Punkt Q(-3, 6) geht.
Die Koordinaten des Punktes Q erfüllen die Kurvengleichung:
f (-3) = 6 oder 6 = 9a oder also a = 2 /3.
b) y = f (x) = ax 2 + c a, c ∈ R, a ≠ 0
Skizze: a = 1 /4
c = 0, -3, 2
Satz:
Der Graph der Funktion f: x → y = ax 2 + c ist eine zur
y-Achse symmetrische Parabel mit dem Scheitel S(0, c).
Sie entsteht aus der Parabel y = ax 2 durch Translation
⎛0
⎞
um den Vektor ⎜ ⎟ .
⎝c
⎠
Aufgabe:
Eine zur y-Achse symmetrische Parabel geht durch die Punkte P(4, 2) und Q(2, -1). Bestimme
ihre Gleichung.
f 4 = 2 16a
+ c = 2
( )
( 2)
= −1
4a
+ c = −1
f
y = f(x) = ¼ x 2 - 2
27.03.2013 quadrfkt_neu/ul
1

2
c) y f ( x) ax bx x ( ax b)
= = + = ⋅ + a, b∈ R, a ≠ 0
In diesem Fall können die Schnittpunkte der Parabel mit
der x-Achse unmittelbar angegeben werden:
b
x1 = 0 und x 2 = − a . Aus Symmetriegründen liegt der
b
Scheitel folglich an der Stelle u = − 2a
. Die y-
Koordinate v ergibt sich dann zu v = f(u).
Skizze : a = ½, b = -2
Scheitel S(2, -2)
Verallgemeinerung :
Liegt die Gleichung in der Form
y = a ⋅( x − x1) ⋅( x − x2)
a ≠ 0
vor, so ergeben sich daraus die x-Koordinaten der beiden Schnittpunkte zu x1 und x2. Aus
x1 + x2
Symmetriegründen ist dann die x-Koordinate des Scheitels u = .
2
d)
Wegen c) ist die x-Koordinate u des Scheitels auch im
allgemeinen Fall bekannt, denn der zusätzliche
Summand c verändert nur die y- Koordinate des
Scheitels.
Beispiel:
1 2
y = f ( x) = 2 ⋅ x − 2x + 3,
a = ½, b = -2, c = 3
Die Parabel entsteht aus der von Beispiel c) durch eine
Translation um 3 in y-Richtung:
Die Funktionsgleichung kann durch quadratische
Ergänzung folgendermassen umgeformt werden:
27.03.2013 quadrfkt_neu/ul
( ) ( ) 2
y = f ( x) = ⋅ x − 2x + 3 = ⋅ x − 4x + 4 + 1 = ⋅ x − 2 + 1
1 2 1 2
1
2 2 2
In dieser Form sind die Scheitelkoordinaten S(2, 1) direkt zu erkennen.
Vorgehen im allgemeinen Fall:
b
Wegen c) kann die x-Koordinate des Scheitels angegeben werden u = − 2a
. Die y-Koordinate
erhält man, indem man u in die Parabelgleichung einsetzt: v = f(u).
Illustration am Beispiel
y = f x 1 2
= ⋅ x + x + 4
( )
4
1
x-Koordinate des Scheitels: = − 1 = − 2 v = f(-2) = 3
u 2⋅
4
Es handelt sich also um eine Parabel mit dem Scheitel S(-2, 3). Sie geht aus der Parabel mit
1 2
der Gleichung y = 4 ⋅ x durch eine Parallelverschiebung hervor.
Nach quadratischer Ergänzung ergibt sich die Parabelgleichung in der Form:
( ) ( ) 2
1 2
1
y = f x = ⋅ x + x + 4 = ⋅ x + 2 + 3
Allgemein gilt
4 4
2

Satz:
Der Graph der Funktion f(x) = ax 2 + bx + c ist eine Parabel mit dem Scheitel
⎛ b ⎛ b ⎞⎞
S ⎜ − , f ⎜ − ⎟
2a 2a
⎟
⎝ ⎝ ⎠⎠
. Sie geht aus der Ursprungsparabel mit der Gleichung y = ax2 durch eine
Translation hervor. Für a > 0 ist sie nach oben, für a < 0 nach unten geöffnet.
Bemerkung:
Die Form der Parabel wird allein durch den Wert des Parameters a bestimmt. b bzw. c
bestimmen die Lage der Parabel im Koordinatensystem.
Übungsaufgabe:
( ) ( ) 2
1 2 5 1
y = f x = − 2 ⋅ x + x − 2 = − 2 ⋅ x −1 − 2 S(1, -2)
e)
Die Scheitelkoordinaten können auch bestimmt werden, indem man den Funktionsterm mit
quadratischer Ergänzung auf die Form ( ) 2
y = a ⋅ x − u + v bringt.
Beispiel:
y = f x =
2
⋅ x − 3x
+
( ) 1
2
1
2
2 ( x x [ ] ) ( x )
= ⋅ − 6 + 9 − 9 + 1 = ⋅ − 3 − 4
1 1
2 2
Die Parabel entsteht aus der mit der Gleichung
y = f x 1 2
= ⋅ x durch eine Parallelverschiebung um
( )
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2
3 Einheiten in positiver x-Richtung und um 4
Einheiten in negativer y-Richtung hervor.
Lösung im allgemeinen Fall :
2
2 2 2 2
⎛ 2 2 b ⎛ b ⎞ ⎛ b ⎞ ⎞ ⎛⎛ b ⎞ ⎛ b ⎞ ⎞
y = ax + bx + c = a ⎜ x + 2⋅ x + − + c = a x + − + c
⎜ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎟ ⎜⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎟
2a ⎝ 2a ⎠ ⎝ 2a ⎠ ⎟ ⎜⎝ 2a ⎠ ⎝ 2a
⎠ ⎟
⎝ ⎠ ⎝ ⎠
2 2 2 2
2
⎛ b ⎞
= a ⎜ x + ⎟
⎝ 2a ⎠
b 4a ⎛ b ⎞
− + c ⋅ = a⎜ x + ⎟
4a 4a ⎝ 2a ⎠
b
−
− 4ac
⎛ b ⎞
= a⎜ x + ⎟
4a ⎝ 2a ⎠
D
−
4a
⎛ b ⎛ b ⎞ −D ⎞
Für die Scheitelkoordinaten gilt damit: S ⎜u = − , v = f ⎜ − ⎟ =
2a 2a 4a
⎟
⎝ ⎝ ⎠ ⎠
Satz:
2
Der Graph der Funktion f: x → y = f ( x) = a ⋅( x − u) + v ist eine Parabel mit dem Scheitel
S(u, v). Sie entsteht aus der Parabel mit der Gleichung y = ax 2 durch Translation um den
Vektor u ⎛ ⎞
⎜ ⎟
⎝ v ⎠ .
3

8. Zusammenhang zwischen quadratischer Funktion und Gleichung
1 2
In der Skizze sind die Parabeln y = 2 ⋅ x − x + c für die Parameterwerte
a) c = 2 b) c = 1 /2 und c) c = -2 dargestellt. Die Parabeln gehen durch Parallelverschiebung in
y-Richtung auseinander hervor. Die Bestimmung der Schnittpunkte der Parabel mit der
1 2
x-Achse führt auf die quadratische Gleichung ⋅ x − x + c = 0
a) c = 2 Diskriminante D < 0
die Parabel meidet die x-Achse
b) c = 1 /2 D = 0: genau eine Lösung
die Parabel berührt die x-Achse
c) c = -2 D > 0: zwei reelle Lösungen
die Parabel schneidet die x-Achse
Schreibt man die quadratische Auflösungsformel in der
−b
D
Form x1,2
= ± so sieht man, dass sich im Fall
2a 2a
D > 0 die beiden Lösungen x1 ,2 ergeben, indem man von der x-Koordinate des Scheitels 2
D
ausgehend
2a
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addiert bzw. subtrahiert.
Allgemein:
(1) quadratische Gleichung ax 2 + bx + c = 0 mit der Diskriminante D
(2) zugehörige quadratische Funktion y = f(x) = ax 2 + bx+ c
a) D < 0 Gleichung (1) hat keine reelle Lösung
die quadratische Parabel (2) meidet die x-Achse
b) D = 0 Gleichung (1) hat genau eine reelle Lösung
die quadratische Parabel (2) berührt die x-Achse
c) D > 0 Gleichung (1) hat zwei reelle Lösungen
die quadratische Parabel (2) schneidet die x-Achse
2
− b
a
4

9. Quadratische Ungleichungen
Quadratische Ungleichungen können gelöst werden, indem man die zugehörige quadratische
Funktion betrachtet. Die Lösungsmenge ergibt sich dann, indem man die Schnittpunkte des
Graphen mit der x-Achse bestimmt und deren Öffnung berücksichtigt.
Illustration an Beispielen:
a) x 2 + 2x - 3 < 0
Der Graph der zugehörigen quadratischen Funktion
f(x) = x 2 + 2x – 3 = (x + 3)⋅(x - 1) ist eine nach oben
geöffnete Parabel, welche die x-Achse an den Stellen
x1 = 1 und x2 = -3 schneidet. Die Parabel verläuft im
Intervall ]-3/1[ unterhalb der x-Achse, das heisst dort
f(x) < 0 ist. Lösungsmenge L = ]-3/1[
Bemerkung:
Die Lösungsmenge L kann auch mit einer
Fallunterscheidung gelöst werden. L besteht aus den reellen
Zahlen für die einer der Faktoren negativ und der andere positiv
ist.
Äquivalenzumformungen bei Ungleichungen:
Die Lösungsmenge einer Ungleichung ändert sich nicht, wenn
man
• auf beiden Seiten dieselbe Zahl addiert (subtrahiert)
• beide Seiten mit derselben positiven Zahl multipliziert.
b) - ¼ x 2 + x + 3 ≤ 0
Hilfsfunktion f(x) = - ¼ x 2 + x + 3
Lösungsmenge L = ]-∞ , -2] ∪ [6 , ∞[
x − 2
c) > 0
x + 1
Eine Fallunterscheidung lässt sich vermeiden, indem man mit dem Quadrat des Nenners
multipliziert.
Die neue Ungleichung (x - 2)⋅(x + 1) > 0 hat die Lösungsmenge L = ]-∞ , -1[ ∪ ]2, ∞[
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5

Aufgabe:
Beschreibe die gefärbte Punktmenge in der Abbildung
(ohne Rand) durch ein System von Ungleichungen.
Da die Parabel die x-Achse an den Stellen
x = 0 und x = 4 schneidet, kann ihre Gleichung in der
y = ax ⋅ x − 4 angesetzt werden.
Form ( )
Der Scheitel S(2, 4) erfüllt die Parabelgleichung:
4 = a ⋅ 2⋅ 4 − 2 mit der Lösung a = ½.
( )
Gesuchtes Ungleichungssystem:
1
2
( 4 )
y < x − x
y > 2 − x
1
2
10. Parabelgleichung gesucht
Aufgabe:
Bestimme eine Gleichung der Parabel mit den angegebenen Eigenschaften:
a) wenn der Scheitel S(3, 4) und der Parabelpunkt A(-1, 0) gegeben sind.
b) wenn die Parabelpunkte A(2, 5), B(4, 4) und C(-2, 1) gegeben sind.
a)
2
Ansatz: y = f ( x) = a ⋅( x − 3) + 4
A erfüllt die Gleichung oder f(-1) = 0
( ) 2
a − 1+ 3 + 4 = 0 ergibt a = - 1 /4
Gesuchte Gleichung:
b)
y = f x = ax + bx + c
Ansatz: ( ) 2
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y = f x = − ⋅ x − +
1
2
( ) 4 ( 3) 4
Die drei Parabelpunkte erfüllen die Parabelgleichung:
f 2 = 5 4a
+ 2b
+ c = 5 ⋅(
−1)
⋅1
f
( )
( 4)
= 4 16a
+ 4b
+ c = 4 ⋅1
( − 2)
= 1 4a
− 2b
+ c = 1 ⋅(
−1)
f
12 2 1
4 1
a + b = − a = −
4b
= 4 b = 1
Mit dem Additionsverfahren ergibt sich die Lösung
y = f(x) = - 1 /4 x 2 + x + 4
6

Aufgabe:
Gemäss einer Faustformel gilt für die Anhaltestrecke eines Autos bei nasser Strasse
2
b v = cv + dv
( )
b(v) bezeichnet die Anhaltestrecke in Meter, v die Geschwindigkeit in km/h, c, d sind
Konstanten.
Man weiss, dass b(80) = 70 b(100) = 105
Wie gross ist b(130)?
80c + 6400d = 72
100c + 10000d = 105
b(130) ≈130.65 m
11. Die Parabel als geometrischer Ort
27.03.2013 quadrfkt_neu/ul
Lösung d = 3 /10, d = 3 /400
Aufgabe:
Bestimme die Menge aller Punkte der Ebene, die von einem festen Punkt F
und einer gegebenen Geraden l gleichen Abstand haben.
Bezeichnungen:
l heisst Leitgerade, F Brennpunkt,
der Abstand des Brennpunkts F
von der Leitgeraden l heisst Para-
Meter und wird mit p bezeichnet.
Skizze:
l: y = -1 F(0,1)
Konstruktion:
Schneide die Parallele zur Leitgeraden im
Abstand r mit dem Kreis um F mit
Radius r.
Ortsbedingung:
2 2
2 2 ⎛ p ⎞ ⎛ p ⎞ 2
PL = PF ⎜ y + ⎟ = ⎜ y − ⎟ + x nach Pythagoras, vereinfacht zu
⎝ 2 ⎠ ⎝ 2 ⎠
2
x 2
(1) y = = ax Gleichung der Parabel mit dem Brennpunkt F(0, ½ p)
2 p
und der Leitgeraden l: y = - ½ p
Aufgabe:
Berechne für die Ursprungsparabel y = x 2 die Koordinaten des Brennpunkts.
1
Zusammenhang zwischen a und p nach (1): a =
2 p
Für die Normalparabel mit a = 1 ergibt sich p zu p = ½.
Koordinaten des Brennpunkts F(0, ¼)
7

Für technische Anwendungen ist die folgende Parabeleigenschaft wichtig:
Achsenparallel einfallendes Licht wird an einem parabolförmigen Spiegel nach dem
Brennpunkt reflektiert (Parabolspiegel, Parabolantenne).
Übungsaufgabe:
a)
Auf welcher Kurve liegen die Mittelpunkte M(x, y) der Kreise, die durch den Punkt C(2,1)
gehen und die x-Achse berühren?
1 2 5
Lösung: y = 2 x − 2x
+ 2
b) Über der Grundseite A(-c, 0)B(c, 0) werden Dreiecke betrachtet, deren Ecke C auf der
Geraden y = h mit h > 0 liegen. Auf welcher Kurve liegen die Höhenschnittpunkte dieser
Dreiecke?
Lösung:
2
1 2 c
y = − ⋅ x +
h h
12. Extremalaufgaben
Beispiele:
a)
Dem Rechteck mit den Seiten a = 5 und b = 3 wird ein
Parallelogramm einbeschrieben. Für welche Wahl von x
wird der Parallelogramminhalt I minimal?
Zielfunktion: Der Parallelogramminhalt soll minimal
werden:
I(x) = 15 - x⋅(3 - x) - x⋅(5 - x) = 2x 2 - 8x+ 15
Bestimmung des Extremums:
Der Graph der Funktion I ist eine nach oben geöffnete
Parabel. Die Scheitelkoordinaten ergeben sich zu u = 2 bzw. v = I(2) = 7
Ergebnis:
Der Inhalt des Parallelogramms wird für x = 2 minimal. Der minimale Inhalt beträgt I(2) = 7.
27.03.2013 quadrfkt_neu/ul
8

)
Eine Fabrik setzt monatlich 200 Stück eines Zubehörteils ab und hat an jedem Stück einen
Reingewinn von 10 Fr.. Marktforschung hat ergeben, dass eine Preissenkung von Fr. 1.-,
Fr 2.-, usf. eine Erhöhung des Monatsumsatzes von c = 50 Stück, 2c Stück bewirken würde.
Bei welcher Preissenkung pro Stück ist der grösste Gesamtgewinn zu erwarten?
Zielfunktion:
Gewinn in Fr. pro Stück bei einer Preisreduktion um x Fr.: 10 - x
Anzahl verkaufte Stücke 200 + 50x
Gesamtgewinn G ( x)
= ( 10 − x)
⋅(
200 + 50x)
= 50 ⋅ ( 10 − x)
⋅(
4 + x)
Bestimmung des Extremums:
Der Graph der Zielfunktion ist eine nach unten geöffnete Parabel, welche die x-Achse an den
Stellen 10 und -4 schneidet. Der Scheitel liegt damit aus Symmetriegründen an der Stelle
x = 3.
Der Gesamtgewinn wird bei einer Preisreduktion von Fr. 3.- maximal und beträgt
G(3) = 2450 Fr.
c)
Eine ebene 400 m-Bahn soll so angelegt werden, dass sie ein Rechteck mit zwei angesetzten
Halbkreisen begrenzt. Wie gross muss der
Radius r sein und wie lang ein gerades Stück
zwischen den Kurven, wenn das Rechteck
maximalen Flächeninhalt haben soll?
A( r)
= 2r
⋅ ( 200 − πr)
Der Inhalt des Rechtecks ist bei
100
r = m maximal.
π
Länge des geraden Stücks 100 m.
Bemerkung:
Die Bestimmungen des IAAF schreiben für die Geraden eine Länge von 84.39 Meter und für
den Kurvenradius 36.80 Meter vor.
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In den folgenden Beispielen treten sogenannte Nebenbedingungen auf:
d)
Von einer rechteckigen Glasplatte von 15 dm
und b = 12 dm ist an einer Ecke ein Stück in
Form eines rechtwinkligen Dreiecks mit den
Katheten c = 6 dm und d = 4 dm
abgebrochen. Aus der restlichen Platte soll
eine rechteckige Platte von möglichst
grossem Flächeninhalt geschnitten werden.
Bestimme Länge und Breite dieses
Rechtecks.
1. Zielfunktion: Flächeninhalt A minimal
A = ( 15 − x)
⋅(
12 − y)
2. Nebenbedingung : (Geradengleichung oder Strahlensatz)
2 y = − 3 x + 4
3. Zielfunktion in einer Variablen:
2 A = ( x + 12)
⋅ ( 15 − x)
3
4. Bestimmung des Extremums:
Maximaler Inhalt für x = 1.5 dm. Länge: 13.5 dm, Breite 9 dm
e)
Bewegung zweier Massenpunkte
⎛− 3⎞
Der 1. Punkt: startet zur Zeit t = 0 in A(7, 0), Geschwindigkeit vA = ⎜ ⎟
⎝ 0 ⎠
r
⎛ 0 ⎞
Der 2. Punkt startet zur Zeit t = 0 in B(0, 6), Geschwindigkeit vB = ⎜ ⎟
⎝−
4⎠
r
Zu welcher Zeit ist der Abstand der beiden Punkte minimal?
1. Zielfunktion:
Stelle die Grösse, die extremal werden soll, mit
Hilfe geeigneter Variablen dar:
Der Abstand ist genau dann minimal,
wenn das Abstandsquadrat D minimal ist.
D = x 2 + y 2
2. Nebenbedingungen :
x = 7 - 3t y = 6 - 4t
3. Zielfunktion als Funktion einer einzigen
Variablen
D(t) = (7 - 3t) 2 + (6 - 4t) 2 = 25t 2 - 90t + 85
4. Bestimmung des Extremums:
b 90 9
Das Abstandsquadrat wird minimal für t = − = = 50 5
2a
Das minimale Abstandsquadrat ergibt sich mit 3. zu D = 4. Der minimale Abstand ist also 2.
27.03.2013 quadrfkt_neu/ul
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13. Ein Beispiel aus der Physik: Der schiefe Wurf
r ⎛ vx
⎞
Ein Stein wird von einer um h erhöhten Plattform mit der Geschwindigkeit v = ⎜ ⎟ mit
v
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⎝ y ⎠
vx > 0 geworfen (der Luftwiderstand wird nicht berücksichtigt). Nach welcher Zeit erreicht er
den höchsten Punkt und wie gross ist die Scheitelhöhe.
Bewegungsgleichung für den schiefen Wurf ohne Luftwiderstand:
1) x = v x⋅
t
1 2
2) y = v ⋅t − gt + h h > 0
y
x
aus 1) t = eingesetzt in 2)
v
x
2 y
y x x h
2
2vx
vx
2
g v
= − ⋅ + ⋅ + mit x > 0
numerisches Beispiel:
h = 8 m, vx = 20 m/s, vy = 15 m/s, g = 10 m/s 2
1 2 3
y = − 80 ⋅ x + 4 x + 8
Der Stein erreicht den höchsten Punkt S in 30 m horizontaler Entfernung, wegen 1) nach 1.5 s.
Die Scheitelhöhe beträgt 19.25 m, die erreichte Weite 69.2 ≈ 70 m.
Im allgemeinen Fall mit h = 0, Anfangsgeschwindigkeit v0 und Abwurfwinkel α gilt:
x(t) = v0⋅t⋅cos α (1)
y(t) = v0⋅t⋅sin α - ½ gt 2 (2)
(1) nach t aufgelöst
0 cos
x
t =
v α
eingesetzt in (2)
Gleichung der Bahnkurve (Wurfparabel):
g
2
y = − ⋅ x + x ⋅ tanα
(3)
2 2
2v
cos α
Wurfweite w in horizontaler Richtung:
2
v0
sin( 2α
)
w =
g
zugehörige Wurfzeit T:
v
T =
g
2 0 sinα
Scheitelhöhe h: h
Bei gegebenem v0 wird
v
0
= 0
2 2
= 0
2
w maximal für α = 45° w v
g
h maximal für α = 90° w v
=
g
0
2
2
T maximal für α = 90°
v
T =
g
2 0
sin α T
(y-Wert zur Zeit /2)
2g
11