7. Quadratische Funktionen lineare Funktion: y = f (x) = ax + b Graph ...

Für technische Anwendungen ist die folgende Parabeleigenschaft wichtig:
Achsenparallel einfallendes Licht wird an einem parabolförmigen Spiegel nach dem
Brennpunkt reflektiert (Parabolspiegel, Parabolantenne).
Übungsaufgabe:
a)
Auf welcher Kurve liegen die Mittelpunkte M(x, y) der Kreise, die durch den Punkt C(2,1)
gehen und die x-Achse berühren?
1 2 5
Lösung: y = 2 x − 2x
+ 2
b) Über der Grundseite A(-c, 0)B(c, 0) werden Dreiecke betrachtet, deren Ecke C auf der
Geraden y = h mit h > 0 liegen. Auf welcher Kurve liegen die Höhenschnittpunkte dieser
Dreiecke?
Lösung:
2
1 2 c
y = − ⋅ x +
h h
12. Extremalaufgaben
Beispiele:
a)
Dem Rechteck mit den Seiten a = 5 und b = 3 wird ein
Parallelogramm einbeschrieben. Für welche Wahl von x
wird der Parallelogramminhalt I minimal?
Zielfunktion: Der Parallelogramminhalt soll minimal
werden:
I(x) = 15 - x⋅(3 - x) - x⋅(5 - x) = 2x 2 - 8x+ 15
Bestimmung des Extremums:
Der Graph der Funktion I ist eine nach oben geöffnete
Parabel. Die Scheitelkoordinaten ergeben sich zu u = 2 bzw. v = I(2) = 7
Ergebnis:
Der Inhalt des Parallelogramms wird für x = 2 minimal. Der minimale Inhalt beträgt I(2) = 7.
27.03.2013 quadrfkt_neu/ul
8