7. Quadratische Funktionen lineare Funktion: y = f (x) = ax + b Graph ...

13. Ein Beispiel aus der Physik: Der schiefe Wurf
r ⎛ vx
⎞
Ein Stein wird von einer um h erhöhten Plattform mit der Geschwindigkeit v = ⎜ ⎟ mit
v
27.03.2013 quadrfkt_neu/ul
⎝ y ⎠
vx > 0 geworfen (der Luftwiderstand wird nicht berücksichtigt). Nach welcher Zeit erreicht er
den höchsten Punkt und wie gross ist die Scheitelhöhe.
Bewegungsgleichung für den schiefen Wurf ohne Luftwiderstand:
1) x = v x⋅
t
1 2
2) y = v ⋅t − gt + h h > 0
y
x
aus 1) t = eingesetzt in 2)
v
x
2 y
y x x h
2
2vx
vx
2
g v
= − ⋅ + ⋅ + mit x > 0
numerisches Beispiel:
h = 8 m, vx = 20 m/s, vy = 15 m/s, g = 10 m/s 2
1 2 3
y = − 80 ⋅ x + 4 x + 8
Der Stein erreicht den höchsten Punkt S in 30 m horizontaler Entfernung, wegen 1) nach 1.5 s.
Die Scheitelhöhe beträgt 19.25 m, die erreichte Weite 69.2 ≈ 70 m.
Im allgemeinen Fall mit h = 0, Anfangsgeschwindigkeit v0 und Abwurfwinkel α gilt:
x(t) = v0⋅t⋅cos α (1)
y(t) = v0⋅t⋅sin α - ½ gt 2 (2)
(1) nach t aufgelöst
0 cos
x
t =
v α
eingesetzt in (2)
Gleichung der Bahnkurve (Wurfparabel):
g
2
y = − ⋅ x + x ⋅ tanα
(3)
2 2
2v
cos α
Wurfweite w in horizontaler Richtung:
2
v0
sin( 2α
)
w =
g
zugehörige Wurfzeit T:
v
T =
g
2 0 sinα
Scheitelhöhe h: h
Bei gegebenem v0 wird
v
0
= 0
2 2
= 0
2
w maximal für α = 45° w v
g
h maximal für α = 90° w v
=
g
0
2
2
T maximal für α = 90°
v
T =
g
2 0
sin α T
(y-Wert zur Zeit /2)
2g
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