Prof. Dr. Bernd Hafenbrak Statistik Kurs BK 107/207 ... - Mathematik

Prof. Dr. Bernd Hafenbrak Statistik Kurs BK 107/207 Blatt 5 Lösungen
Aufgabe 1:
a) A = {Pique-Karte}, W(A) = 8/32= 1/4
b) B = {As}, W(B) = 4/32 = 1/8
c) C = {Pique-Karte oder As}, C = A ∪ B, W(C) = W(A ∪ B), A und B nicht disjunkt;
A ∩ B = {Pique-As}; W(A ∩ B) = 1/32
W(C) = W(A ∪ B) = W(A) + W(B) - W(A ∩ B) = 11/32
Aufgabe 2:
M = {männlicher Hörer}, h(M) = 120; F = {weiblicher Hörer}, h(F) = 180
V = {Hörer ist Student VWL}, h(V) = 135; B = {Hörer ist Student BWL}, h(B) = 165
a) W(M) = 0,4
b) W(W) = 0,6
c) W(M ∪ V) = (42+78+93)/300 = 0,71; W(M ∪ V) = W(M)+W(V)-W(M ∩ V)
d) W(W ∩ B) = 87/300 = 0,29
e) W(B|W) = W(W ∩ B)/W(W) = 87/180 = 0,483
f) W(M|V) = W(M ∩ V)/W(V) = 42/135 = 0,31
Aufgabe 3:
A = {ein Zehnjähriger wird 40 Jahre alt}; W(A) = 0,82277
B = {ein Zehnjähriger wird 70 Jahre alt}; W(B) = 0,37977
Da jeder Siebzigjährige auch einmal 40 Jahre alt gewesen sein muss, gilt B ⊂ A und
damit A ∩ B = B
W(B|A) = W(A ∩ B)/W(A) = 0,4616; Formel für bedingte Wahrscheinlichkeit
Lösung mit dem gesunden Menschenverstand ohne Formel:
Von 100000 Zehnjährigen erreichen 82277 das vierzigste Lebensjahr, von diesen Vierzigjährigen
erreichen 37977 das siebzigste Lebensjahr, das ist ein Anteil von
37977/82277 = 0,462 = 46,2%.
Aufgabe 4:
A 1= {die 1. Ziehung liefert eine rote Kugel}
A 2= {die 2. Ziehung liefert eine weiße Kugel}
A 3= {die 3. Ziehung liefert eine rote Kugel}
W(A1) = 2/10; W(A2|A1) = 3/9; W(A3|A1 ∩ A2) = 1/8
W(A1 ∩ A2 ∩ A3) = W(A1)⋅ W(A2 ∩ A1) ⋅ W(A3| A1 ∩ A2) = 1/120; Multiplikationssatz
(Veranschaulichung mit einem Baumdiagramm).
Aufgabe 5:
Mi = {Stück stammt von Maschine i}; i = 1,2,3, W(M 1) = 0,1; W(M 2) = 0,4; W(M 3) = 0,5
A = {Ausschußstück}
W(A|M 1) = 0,05; W(A| M 2) = 0,04; W(A| M 3) = 0,02
W(A) = W(M1)*W(A|M1)+W(M2)*W(A| M2)+W(M3)*W(A| M3) = 0,031
Formel für totale Wahrscheinlichkeit
Satz von Bayes: W(M1 | A) = 0,1613; W(M2 | A) = 0,5161; W(M3 | A) = 0,3226
Lösung ohne Formeln:
Wir gehen von der Tagesproduktion von 1000 Stück aus.
Von M1 stammen 100 Stück, dabei 5% Ausschuss, das sind 5 Stück Ausschuss.
Von M2 stammen 400 Stück, dabei 4% Ausschuss, das sind 16 Stück Ausschuss.

Von M3 stammen 500 Stück, dabei 2% Ausschuss, das sind 10 Stück Ausschuss.
Insgesamt haben wir 31 Stück Ausschuss, dabei stammen die meisten Ausschussstücke, nämlich
16 von Maschine M2, das sind relativ gesehen 16/21=51,6%.
Aufgabe 6:
E(X)=2, Var(X) =1.
Aufgabe 7:
Z = {Erscheinen der gesetzten Zahl beim Werfen eines Würfels};
Bei jedem Wurf eines einzelnen Würfels beträgt die Wahrscheinlichkeit für das Erscheinen der
gesetzten Zahl W(Z) = 1/6 und für das Nichterscheinen W( Z ) = 5/6.
Beim gleichzeitigen Werfen von 3 Würfeln gibt es 8 gleichwahrscheinliche Elementarereignisse
mit den Wahrscheinlichkeit als Produkt der Wahrscheinlichkeiten der Einzelwürfe
Wegen der Unabhängigkeit der einzelnen Würfelergebnisse Anwendung des
Multiplikationssatzes für unabhängige Ereignisse zur Berechnung der W(Ei). Die Ei sind
disjunkt.
E(X) = (-1)⋅ 125/216+1⋅ 75/216+2⋅ 15/216+3⋅ 1/216 = -17/216 = - 0,079 €
Andere Möglichkeit der Lösung:
Dreistufiges binäres Baumdiagramm