Einfuehrung in die A.. - Mathematik

Einführung in die Algebra
Kapitel 1: Mengenlehre und Aussagelogik
Aussagen und Aussageformen
Aussagen:
Der alltägliche Sprachgebrauch ist durchsetzt mit Aussagen. Ein Zeuge macht sie vor Gericht;
man findet sie in Zeitungsmeldungen usw. Sie sind nicht immer wahr, denn es wird auch
Falsches oder Halbwahres mitgeteilt.
Wenn man in der Mathematik Mitteilungen macht, soll das Halbwahre ausgeschlossen sein.
Die Mitteilungen müssen entweder als wahr oder als falsch erkannt werden können.
Deshalb sind Fragesätze, vage Behauptungen, subjektive Äußerungen, Ausrufe und
Aufforderungen ungeeignet.
Definition Aussage:
Sinnvolle sprachliche Gebilde aus mathematischen Zeichen und/ oder Buchstaben, die
eindeutig entweder als wahr (w) oder als falsch (f) zu beurteilen sind, bezeichnet man als
Aussage A. w und f heißen Wahrheitswerte.
Aussageform:
Es gibt auch sprachliche Gebilde, die wegen eines unbekannten Bestandteils x keine Aussage
sein können. Ersetzt man x jedoch durch Elemente einer Definitionsmenge, so ergeben sich
Aussagen.
Die Aufgabe von x ist es, für Einsetzungen aus einer zugehörigen Definitionsmenge „den
Platz freizuhalten“. Weil die Einsetzungen für x variiert werden können, bezeichnet man x als
Variable.
Definition Aussageform:
Ein Gebilde, das die Variable x enthält und für jede Einsetzung eines Elements der
Definitionsmenge in die Variable eine Aussage ergibt, heißt Aussageform A(x) mit der
Variablen x.
Beispiel: Aussagen und Aussageformen
1
2
3
4
5
6
7
8
9
5 ist eine Primzahl.
5 ist kein Teiler von 100.
3*6 < 2*5 + 4*2
Auf dem Mars gibt es Leben.
x ist ein Tier.
x² = -1
2x < 6
3 + 7
Sprachliches Gebilde
Dieses sprachliche Gebilde
ist eine falsche Aussage.
Aussage
Aussageform

1 Urteil (w) eindeutig möglich Aussage
2 Urteil (f) eindeutig möglich Aussage
3 Urteil (f) eindeutig möglich Aussage
4 Urteil (w) oder (f) möglich, aber noch nicht entscheidbar
Aussage
5 Urteil (w) oder (f) nach Einsetzen in Variable möglich Aussageform
6 Urteil (w) oder (f) nach Einsetzen in Variable möglich Aussageform
7 Urteil (w) oder (f) nach Einsetzen in Variable möglich Aussageform
8 kein Urteil möglich (Term)
9 kein Urteil möglich (das Gebilde sagt jeweils das Gegenteil vom angenommenen
Urteil aus).
Der Umfang der Definitionsmenge kann sich aus der Problemstellung ergeben. Es kann aber
auch rechnerische Einschränkungen geben, z.B. Wurzel (x‐1) ist nur für x>=1 definiert. Auch
Mengen sind wählbar.
In der Praxis gehört zu der Variablen die umfangreichste Definitionsmenge. Sie wird neben
der Aussageform angegeben.
Wenn die Variable an mehreren Stellen auftritt, muss für x die gleiche Einsetzung an allen
Stellen vorgenommen werden.
E
V
x = 4
x = 3
x = 2
x = 1
A
D x = N
3x = 2x + 3
3 * 4 = 2 * 4 + 3 (f)
3 * 3 = 2 * 3 + 3 (w)
3 * 2 = 2 * 3 + 3 (f)
3 * 1 = 2 * 1 + 3 (f)
Gibt es mindestens eine
wahre Aussage, so ist die
Aussageform lösbar in D x .
Aussageform als Automat
x = 4
x = 3
x = 2
x = 1
D x = N
x² = -1
4² = -1 (f)
3² = -1 (f)
2² = -1 (f)
1² = -1 (f)
Gibt es keine wahre
Aussage, so ist die Aussageform
unlösbar in D x .
x = Ulm
x = Roth
x = Lauf
Eingabe E: Definitionsmenge,
Verarbeitung V: elementweises Einsetzen in die Aussageform,
Ausgabe A: Aussagen werden bewertet.
D x = {Ulm,
Roth, Lauf}
x ist eine Stadt
Ulm ist eine Stadt (w)
Roth ist eine Stadt (w)
Lauf ist eine Stadt (w)
Gibt es nur wahre Aussagen,
so ist die Aussageform
allgemein gültig in D x .
Definition Lösungsmenge einer Aussageform:
Jede Einsetzung aus der Definitionsmenge Dx in die Variable einer Aussageform A(x), die eine
wahre Aussage erzeugt, heißt Lösung der Aussageform. Die Menge aller Lösungen heißt
Lösungsmenge der Aussageform.

Die Aussageformen zur vorherigen Folie haben der Reihe nach die Lösungsmengen
IL = {3}, L = {}, IL = Dx.
Die folgenden Schreib‐ und Sprechweisen sind üblich:
IL = { }: A(x) ist unlösbar in Dx.
IL = Dx: A(x) ist allgemein gültig in Dx.
Ändert man die Definitionsmenge einer Aussageform, so ändert sich in der Regel auch die
Lösungsmenge.
Beachte:
Die Definition zu Aussageformen mit einer Variable lassen sich leicht auf solche mit
mindestens zwei Variablen übertragen. Jede Variable besitzt dann eine Definitionsmenge.
Die Einsetzungen in die Variabeln sind unabhängig voneinander vorzunehmen. Eine Aussage
liegt erst dann vor, nachdem in alle Variablen eingesetzt worden ist.
Gleichungen und Ungleichungen mit mindestens zwei Variablen sind neben den Relationen
und Funktionen Beispiele für Aussageformen mit mehr als einer Variablen. Algebra II
Exkurs: Mengenlehre
Man spricht von Zahlen‐, Punkt‐ und Funktionsmengen, vom Schnitt und der Vereinigung
von Mengen und anderen Operationen und verwendet eine an die Menge der natürlichen
Zahlen gebundene Unendlichkeitsvorstellung. In allen Gebieten der Mathematik wird heute
die Sprache der Mengenlehre benutzt.
Definition Menge (Cantor):
Eine Menge M ist eine Zusammenfassung von bestimmten, wohlunter‐schiedenen Objekten
(Dingen) unserer Anschauung oder unseres Denkens. Die Objekte heißen Elemente der
Menge.
Die Darstellung einer Menge erfolgt in
1. aufzählender Form (Mengendiagramme/ Venn‐Diagramme) oder in
2. beschreibender Form
Kein Element einer Menge darf doppelt aufgeführt werden. Auf die Reihenfolge kommt es
nicht an.
Zwei Mengen sind gleich, wenn sie dieselben Elemente enthalten. Enthält eine Menge kein
Element, so spricht man von der leeren Menge: { }.
Definition Teilmenge:
T heißt Teilmenge einer Menge M, wenn jedes Element T zu M gehört:
T⊆ M. T heißt echte Teilmenge (T ⊂ M), wenn zusätzlich T ≠ M gilt.
Um die Gleichheit zweier Mengen zu zeigen, zeigt man daher (1) A ⊆ B und (2) B ⊆ A, um A =
B zu folgern.

Definition Restmenge:
Die Menge derjenigen Elemente von A, die nicht zu B gehören, heißt Restmenge von A
bezüglich B: A\B.
G ist eine vorgegebene Grundmenge. Für jedes A mit A⊆ G heißt die Restmenge G\A
Ergänzungsmenge (Komplement) von A in G: A
Definition Schnittmenge und Vereinigungsmenge ergibt sich von selbst.
Es gilt:
{ } ⊆ M für alle M und
{ } ⊂ M für alle M ≠ { }.
Verknüpfungen und Negation von Aussagen
Junktoren
„und“
„oder“
„wenn…, dann…“
„genau dann…, wenn…“
bzw.
„dann und nur dann…,
wenn…“
„nicht“
Rangordnung der Junktoren:
Bezeichnung, Zeichen
Konjunktion: ∧
Disjunktion: ∨
Subjunktion: →
Bijunktion: ↔
Negation: ¬
Analog zur „Punkt-vor-Strich-Regel“ gibt es in der Mengenlehre die „ ∧-vor- ∨-Regel“
und die „→-vor-↔-Regel“. Außerdem wirkt ¬ nur direkt auf die unmittelbare Variable.
Auf Grund dieser Vereinbarung kann man beispielsweise bei (A ∧ B) ∨ (¬A ∧ B) und
(A → B) ↔ ¬A die Klammern weglassen.
Verknüpfungen:
Nicht alle Aussagen sind von so einfacher Struktur wie die vorherigen. Oftmals lassen sich
einfache Aussagen durch Verbindungselemente zu neuen Gebilden verknüpfen. Diese
Verknüpfungszeichen nennt man Junktoren.
Hinzutreten kann das negierende Element.
Für die Verknüpfungen gilt:
⇒ ∧: Die Konjunktion A ∧ B zweier Aussagen ist immer nur dann wahr, wenn die
beteiligten Aussagen A und B wahr sind. Er drückt aus, dass Bedingungen gleichzeitig
zu erfüllen sind. Dieser Junktor verknüpft z.B. lineare Gleichungen zu einem
Gleichungssystem.
⇒ ∨: ´Die Disjunktion A ∨ B zweier Aussagen ist immer nur falsch, wenn beide
beteiligten Aussagen A und B falsch sind. Er wird immer verwendet, wenn mehrere
Möglichkeiten (z.B. die eine oder die andere) bestehen, etwa beim Lösen der

Gleichung (x‐1)(x‐2)(x²+1) = 0 mit Hilfe der äquivalenten disjunkten Form x‐1 = 0 ∨ x‐
2=0 ∨ x²+1 = 0.
⇒ →: Die Subjunktion A → B ist nur falsch, wenn die Wenn‐Aussage wahr und die
Dann‐Aussage falsch ist.
⇒ ↔: Die Bijunktion A ↔ B ist immer wahr, wenn die beteiligten Aussagen entweder
beide wahr oder beide falsch sind, die Wahrheitswerte beider Aussagen also immer
übereinstimmen.
Sind L1, L2,… die Lösungsmengen der beteiligten Aussageformen, so gelten für die
Lösungsmengen L∧ bzw. L∨ der verknüpften Aussageformen die Schnittmengen‐ bzw.
Vereinigungsmengenregel:
(1) L∧ = L1 ∩ L2 ∩…
(2) L∨ = L1 ∪ L2 ∪…
Die Negation einer Aussageform hat dieselbe Definitionsmenge D wie die vorgegebene. Ist L
deren Lösungsmenge, so gilt für die Lösungsmenge L¬ der negierten Aussageform die
Negationsregel:
(3) L¬ = D\L
Beispiele für Verknüpfung von Aussagen
Carla kommt am Sonntag und sie kommt am
Montag vorbei.
Carla kommt am Sonntag oder sie kommt
am Montag vorbei.
Wenn Carla am Sonntag kommt, dann
kommt sie auch am Montag vorbei.
Genau dann, wenn Carla am Sonntag
kommt, kommt sie auch am Montag vorbei.
Sprache der Mengenlehre
nur wahr, wenn Carla sowohl am Sonntag als
auch am Montag vorbeikommt.
nur falsch, wenn Carla weder am Sonntag
noch am Montag vorbeikommt.
nur falsch, wenn Carla zwar am Sonntag,
nicht aber am Montag vorbeikommt.
nur wahr, wenn Carla an beiden Tagen oder
an keinem der Tage vorbeikommt.

Schnittmenge, Vereinigungsmenge, Restmenge
Das Partyproblem
„Das ist doch logisch, da braucht man doch nichts zu beweisen“, so heißt es manchmal,
wenn es um scheinbar klare Sachverhalte geht oder wenn einem die Argumente fehlen.
Das Wort „logisch“ wird oft falsch verwendet:
Logik ist kein Ersatz für einen Beweis, sondern die Form, in der der Beweis erfolgt.
Aufgabe der Logik ist es, Formen des Denkens zu formulieren, die unabhängig vom Inhalt
bestehen. Man erkennt zum Beispiel hinter dem Zusammenhang:
„Wenn es schneit ist die Straße glatt“, und „wenn die Straße glatt wird, ist das Auto fahren
gefährlich“, folgt: „Wenn es schneit, ist das Autofahren gefährlich.“
Die logische Regel:
„Wenn A, dann B“ und „wenn B, dann C“, so folgt „wenn A, dann C.“
Die Anwendung derartiger logischer Regeln leitet von gesicherten Voraussetzungen zu
begründeten Ergebnisses über, die somit von Mathematikern überprüft werden können.

Während Aussagen nur „wahr“ oder „falsch“ sein können, ist der Wahrheitswert eines mit
Junktoren verknüpften Gebildes von den Bestandteilen abhängig. Diese Abhängigkeit wird
besonders gut überschaubar dargestellt durch sogenannte Wahrheitstafeln, die einerseits
zur Definition von Negation, Konjugation , Disjunktion, Subjunktion und Bijunktion dienen,
andererseits die Untersuchung komplexer Gebilde auf ihren Wahrheitswert gestatten.

Definition der Subjunktion (B₁)

Gesetze der Aussagelogik
Zwei aussagelogische Aussageformen sind austauschbar, wenn sich in ihren Tafeln bei
gleicher Eingangsspaltenbelegung der gleiche Wahrheitswerteverlauf in den Ergebnisspalten
ergibt. Derartige Aussageformen heißen logisch äquivalent ( )
Bemerkung: Der Grund für die Wahl dieses Zeichens liegt darin, dass die Bijunktion zweier
logisch äquivalenter Aussageformen immer w, d.h. allgemein gültig ist.
Beispiel:
Man kann in einer aussagelogischen Aussageform Umformungen vornehmen, die zur
Vereinfachung führen können, z.B. indem man den Term ¬ ( A v B) durch ¬ A ∧ ¬ B, also
durch einen klammerfreien Term ersetzt. Man sagt dann auch , dass die Klammern nach dem
( „Rechen“‐) Gesetz von DE MORGAN aufgelöst wurden. Die wichtigsten weiteren Gesetze
der Aussagelogik zum „Rechnen“ enthält Abb. B. Diese gelten auch dann, wenn an die Stelle
der Variablen A und B kompliziertere Aussageformen treten.
Abb.B: Gesetze zur Aussagelogik
∨ ∨

Die Aussageform soll vereinfacht werden:
( M H ) ( H v M) ( ¬ H v M)
( M H) ( H v M) ( H M)
( M H) ( H v M )
[ ( M H ) v ( M v H ) ] ( H v M )
[ ( M H ) ( H v M ) ] v ( (M v H) ( H v M))
(9)
( M H) (H v M )
(3)
[ ( M H) H] v [ ( M H) M]
(1&2)
[ M ( H H) ] v [ ( M M ) M ) ]
( M H ) v ( M H )
M H
11
(5)
13
3
M (5) M (5)
12
F ( falsch) 7

Grundlegende Beweistechniken
lernpsychologisch ist Beweisen dem Problemlösen zuzurechnen (nicht das Wiederholen
oder Reproduzieren eines existierenden Beweises).
a) Direkter Beweis:
Mathem. Theoriebildung geht von als wahr gesetzten Aussagen ( Axiomen) und
Definitionen aus und führt über einfache Sätze zu immer komplexeren Sätzen.
Beim direkten Beweis der Form A B geht man von der wahren Aussage A aus und
folgert über Argumentationskette A₁ …, An die Gültigkeit von B.
In der Argumentationskette können Axiome, Definitionen und/oder bereits bewiesene
Sätze verwendet werden.
Struktur: A A₁
Beispiel:
A₂
A₃
…
An
B.
Behauptung: Für alle n Є IN gilt:
Beweis: Es gilt:
n ist gerade n² ist gerade
( A ) ( B )
n ist gerade n = 2*q mit q Є IN
n² = (2q)²
n² = 4q²
n² = 2*2 q²
n² = 2*q₁ mit q₁ = 2q², q₁ Є IN
n² ist gerade.
q.e.d.

) Indirekter Beweis (Widerspruchsbeweis)
Betrachte die aussagelogische Verknüpfung: B v ¬ A
A B ¬ A B v ¬ A A B
1 w w f w w direkter Beweis
2 w f f f f
3 f w w w w uninteressant
4 f f w w w weil A wahr ist.
1 A B ist wahr, wenn A und B wahr sind.
2 A B ist falsch, wenn A wahr und B falsch ist.
3 + 4 zeigen, dass aus etwas Falschem stets Beliebiges gefolgert werden kann.
Betrachten wir die Verneinung von A B:
A B ≙ B v ¬ A 4 Gesetz von de Morgen
¬ ( A B ) ≙ ¬ ( B v ¬ A ) = ¬ B ∧A
( A B ) ( ¬ ( A B ))
A B ¬ A ¬ B B v ¬ A ¬ B ∧ A
w w f f w f
w f f w f w
f w w f w f
f f w w w f
A ‐> B ist wahr, wenn ¬ ( A ‐> B ) = ¬ B ∧ A falsch ist.
indirekte Beweisführung:
A ‐> B wird verneint.
Aus Verneinung ¬ B ∧A ziehen wir solange Schlussfolgerungen, bis es zu einem
offensichtlichen Widerspruch gelangt.
Verneinung ( A ‐> B ) ist falsch, also ist die behauptete Implikation wahr.

Strukturelles Vorgehen:
1) Verneinung der Behauptung und kennzeichnen sie als Annahme.
2) Annahme führen wir zum Widerspruch.
3) Wissen bei Erreichen des Widerspruchs: Annahme war falsch.
4) Es gilt die Verneinung der Annahme, also die Behauptung.
Beispiel:
Behauptung: Für alle n Є IN gilt:
n ist ungerade n² ist ungerade
( A ) ( B )
Beweis: Annahme: n² ist gerade und n ist ungerade.
( ¬ B ∧ A )
Dann gilt: n² ist gerade ∧ n ist ungerade.
‐ „ ‐ ∧ n = 2q + 1 mit q Є IN
‐ „ ‐ ∧ n² = ( 2q + 1)²
‐ „ ‐ ∧ n² = 4q² + 4q + 1
‐ „ ‐ ∧ n² = 2 (2q² + 2q) +1
‐ „ ‐ ∧ n² = 2q₁ + 1
‐ „ ‐ ∧ n² ist ungerade
Annahme ist falsch, also gilt die Behauptung. q.e.d.
Behauptung: Für alle n Є IN gilt:
n² ist gerade n ist gerade
( A ) ( B )
Beweis: Annahme: n ist ungerade [ und n² ist gerade]
¬ B ∧ A
mit q₁ = 2q² + 2q, q₁ Є IN

Dann gilt: n = 2q + 1 mit q Є IN
n² = ( 2q +1)² = 4q² + 4q +1
n² = 2 (2q² + 2q) +1
n² = 2*q₁ +1 mit q₁ = 2q² + 2q , q₁ Є IN
n² ist ungerade
Vorraussetzung
Annahme falsch, folglich n ist gerade.
c) Beweis durch vollständige Induktion
1.) Grundlage der Beweismethode:
Immer dann, wenn es gilt Aussagen über natürliche Zahlen ( oder einer unendlichen
„Folge von Beweisschritten“) zu beweisen.
Induktionssatz:
Sei M ≙ IN und es gilt: M als Lösungsmenge einer Aussageform A
I. 1 Є M 1 gehört zur Lösungsmenge der Aussage‐
Form, oder A(1) ist wahr.
II. Für alle n Є IN gilt: n Є M (n+1) Є M Immer, wenn Zahl n zur Lösungsmenge
unserer Aussageform gehört, dann auch
Zahl (n+1), oder:
Immer wenn Aussage A(n) wahr ist, dann
ist auch Aussage A(n+1) wahr.
Dann gilt: M = IN M.a.W. A(n) wird bei Einsetzung für jedes
Beliebige n Є IN wahr.

2.) Schema:
I. Induktionsanfang:
Es ist zu zeigen, dass A(1) wahr ist.
II. Induktionsschritt:
Beispiel:
Unter der Voraussetzung der Wahrheit von A(n) soll auch A(n+1) wahr sein.
A(n) wird als Induktionsannahme oder Induktionsvoraussetzung bezeichnet.
A(n) muss explizit in den Induktionsschritt einfließen.
Behauptung: Die Summe der ersten n ungeraden Zahlen ist gleich n², d.h.
für alle n Є IN gilt: 1 + 3 + … + (2n‐1) = n²
Anmerkung: geometrische Darstellung:
…
Beweis: 1. Induktionsanfang:
n=1: A(1): 2*1 – 1 = 1 = 1² wahr.
2. Induktionsschritt:
Induktionsvoraussetzung: A(n) 1 + 3 + … + (2n‐1) = n² wahr
zu zeigen: A(n+1): 1 + 3 + … + (2n‐1) + (2(n+1)‐1) = (n+1)²
Es gilt:
1 + 3 + … + (2n‐1) + (2(n+1)‐)
= n² + 2n + 2 – 1 mit Ind. vor.
= n² + 2n + 1
= ( n+1 ) ²
q.e.d.

Übung
Beweisen Sie durch vollständige Induktion:
a) Für alle n Є IN gilt: 2° + 2¹ + 2² + … + 2 n‐1 = 2 n ‐1
Ind.anf: A(1): 2° = 1 = 2¹ ‐ 1 wahr
Ind.schritt: Ind.vor: A(n) 2° + 2¹ + … + 2 n‐1 = 2 n ‐1
zu zeigen: A(n+1): 2° + 2¹ + … + 2 n‐1 + 2 n = 2 n+1 ‐1
Es gilt:
2° + 2¹ + … + 2 n‐1 + 2 n
= 2 n ‐1 + 2 n mit Ind. vor.
= 2*2 n ‐1
= 2 n+1 ‐1
b) Für alle n Є IN gilt: 1² + 2² + 3² + … + n² = 1/6 n (n+1) (2n+1)
Ind.anf.: A(1): 1² = 1 = 1/6 * 1* 2* 3 = 1/6 wahr
Ind.schritt: Ind.vor: A(n): 1² + 2² + … + n² = 1/6 n (n+1) (2n+1)
Es gilt:
zu zeigen: A(n+1): 1² + 2² + … + n² + (n+1)² = 1/6 (n+1) (n+2) (2n+3)
1² + 2² + … + n² + (n+1)²
= 1/6n (n+1) (2n+1) + (n+1)² mit Ind.vor.
= (n+1) [1/6* 2n² + 1/6n + n + 1]
= 1/6 (n+1) (2n² + n + 6n + 6)
= 1/6 (n+1) (n+2) (2n+3)
q.e.d.

Anmerkung: Äquivalenzen
Die zusammengesetzte Aussage A‐>B ∧ B‐>A heißt Äquivalenz:
A ⇔ B ( „A genau dann, wenn B“)
Im Regelfall wird der Beweis in 2 Schritten über die Teilbehauptung A ‐>B und B‐>A geführt.
Problem bei Kette von Äquivalenzumformung, da Beweise nur in seltensten Fällen durch
konsequente Äquivalenzumformungen ergeben.
Beispiel:
Behauptung: n ist gerade ⇔ n² ist gerade für alle n Є IN
Beweis: n ist gerade und n Є IN
⇔ n= 2q mit q Є IN
⇔ n² = (2q)²
⇔ n² = 4q²
⇔ n² = 2* 2q²
⇔ n² = 2* q₁ mit q₁ = 2q² ; q₁ Є IN
⇔ n² ist gerade
STOP
Wir wissen bei Rückrichtung
nur, dass q₁ Є IN, nicht aber,
dass q₁ gerade Zahl mit
Quadratzahl als Faktor.