Einfuehrung in die A.. - Mathematik

Definition Restmenge:
Die Menge derjenigen Elemente von A, die nicht zu B gehören, heißt Restmenge von A
bezüglich B: A\B.
G ist eine vorgegebene Grundmenge. Für jedes A mit A⊆ G heißt die Restmenge G\A
Ergänzungsmenge (Komplement) von A in G: A
Definition Schnittmenge und Vereinigungsmenge ergibt sich von selbst.
Es gilt:
{ } ⊆ M für alle M und
{ } ⊂ M für alle M ≠ { }.
Verknüpfungen und Negation von Aussagen
Junktoren
„und“
„oder“
„wenn…, dann…“
„genau dann…, wenn…“
bzw.
„dann und nur dann…,
wenn…“
„nicht“
Rangordnung der Junktoren:
Bezeichnung, Zeichen
Konjunktion: ∧
Disjunktion: ∨
Subjunktion: →
Bijunktion: ↔
Negation: ¬
Analog zur „Punkt-vor-Strich-Regel“ gibt es in der Mengenlehre die „ ∧-vor- ∨-Regel“
und die „→-vor-↔-Regel“. Außerdem wirkt ¬ nur direkt auf die unmittelbare Variable.
Auf Grund dieser Vereinbarung kann man beispielsweise bei (A ∧ B) ∨ (¬A ∧ B) und
(A → B) ↔ ¬A die Klammern weglassen.
Verknüpfungen:
Nicht alle Aussagen sind von so einfacher Struktur wie die vorherigen. Oftmals lassen sich
einfache Aussagen durch Verbindungselemente zu neuen Gebilden verknüpfen. Diese
Verknüpfungszeichen nennt man Junktoren.
Hinzutreten kann das negierende Element.
Für die Verknüpfungen gilt:
⇒ ∧: Die Konjunktion A ∧ B zweier Aussagen ist immer nur dann wahr, wenn die
beteiligten Aussagen A und B wahr sind. Er drückt aus, dass Bedingungen gleichzeitig
zu erfüllen sind. Dieser Junktor verknüpft z.B. lineare Gleichungen zu einem
Gleichungssystem.
⇒ ∨: ´Die Disjunktion A ∨ B zweier Aussagen ist immer nur falsch, wenn beide
beteiligten Aussagen A und B falsch sind. Er wird immer verwendet, wenn mehrere
Möglichkeiten (z.B. die eine oder die andere) bestehen, etwa beim Lösen der