Modellieren und offene Aufgaben Infos zum Vortrag ... - Mathematik
Modellieren und offene Aufgaben Infos zum Vortrag ... - Mathematik
Modellieren und offene Aufgaben Infos zum Vortrag ... - Mathematik
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<strong>Modellieren</strong> <strong>und</strong> <strong>offene</strong> <strong>Aufgaben</strong><br />
Eine lohnende (aber schwierige)<br />
Öffnung für den <strong>Mathematik</strong>unterricht<br />
Matthias Ludwig<br />
PH Weingarten<br />
17.11.2008<br />
Waldfischbach<br />
<strong>Infos</strong> <strong>zum</strong> <strong>Vortrag</strong>:<br />
Googlen nach: Matthias Ludwig<br />
Matthias Ludwig Pirmasens<br />
17.11.2008<br />
PH Weingarten<br />
1
Struktur<br />
• Kurze theoretische Einführung<br />
• Fermiaufgaben<br />
• Kleine Modellierungsaufgaben<br />
• Forschung zu den<br />
Modellierungsaufgaben<br />
• Weitere Vorschläge<br />
• Zusammenfassung<br />
Matthias Ludwig Pirmasens<br />
17.11.2008<br />
Matthias Ludwig Pirmasens<br />
17.11.2008<br />
PH Weingarten<br />
• „Unsere mathematischen Begriffe,<br />
Strukturen <strong>und</strong> Vorstellungen sind<br />
erf<strong>und</strong>en worden als Werkzeuge, um die<br />
Phänomene der natürlichen, sozialen<br />
<strong>und</strong> geistigen Welt zu ordnen.“<br />
(Freudenthal 1983)<br />
• Erzeugen einer a-didaktischen Situation<br />
(Brousseau1997)<br />
PH Weingarten<br />
2
Gr<strong>und</strong>bildung nach PISA<br />
• Mathematische Begriffe sind Werkzeuge zur<br />
Erschließung der „Welt“.<br />
• Ziele mathematischer Gr<strong>und</strong>bildung sind<br />
begriffliches Verstehen <strong>und</strong> funktionales<br />
Verwenden von <strong>Mathematik</strong>, nicht nur „technische“<br />
Fertigkeiten <strong>und</strong> Kenntnisse.<br />
• Zur Lösung einer typischen (hochbepunkteten)<br />
PISA-Aufgabe gehört vor allem das <strong>Modellieren</strong><br />
außer- <strong>und</strong> innermathematischer<br />
Problemsituationen.<br />
Matthias Ludwig Pirmasens<br />
17.11.2008<br />
Matthias Ludwig Pirmasens<br />
17.11.2008<br />
PH Weingarten<br />
Mathematisches <strong>Modellieren</strong> im<br />
Sinne von:<br />
• Beschreibung realer funktionaler<br />
Zusammenhänge (Flugbahn)<br />
• Nachbauen, bzw. Nachbilden<br />
• Finden einer Erklärung<br />
• Vorhersagen treffen (Wetter/<br />
Fußballergebnisse, Sonnenfinsternisse)<br />
• Vorschreiben (Tarife)<br />
PH Weingarten<br />
3
<strong>Modellieren</strong> aus dem Blickwinkel<br />
von Lehrenden <strong>und</strong> Lernenden:<br />
• Rechnen mit dem was man weiß <strong>und</strong><br />
kann.<br />
• Sich irgendwie durchschlängeln.<br />
• Ob´s richtig ist ,weiß der Lehrer ja auch<br />
nicht immer.<br />
• Das ist alles so diffus.<br />
Matthias Ludwig Pirmasens<br />
17.11.2008<br />
Fermiaufgaben<br />
• Klavierstimmer<br />
• Tankstellen<br />
•Friseure<br />
• Todesfälle pro Tag (Anzahl der<br />
Bestatter)<br />
• <strong>Infos</strong>: www.welt-in-zahlen.de<br />
Matthias Ludwig Pirmasens<br />
17.11.2008<br />
PH Weingarten<br />
PH Weingarten<br />
4
Die chinesische Fackel<br />
• Die Fackel ist so konstruiert<br />
worden, dass die Flamme<br />
auch bei Winden von 65<br />
km/h <strong>und</strong> Niederschlägen<br />
von 50 mm/h nicht verlöscht.<br />
• Sind 50mm/h eigentlich viel<br />
Regen?<br />
• Wie lange dauert es bis auf<br />
einen Quadratmeter 770<br />
Liter gefallen sind<br />
(Durchschnittliche<br />
Regenmenge in<br />
Deutschland)?<br />
Matthias Ludwig Pirmasens<br />
17.11.2008<br />
Der Elfmeter<br />
Kann man mathematisch die<br />
Verwandlungshäufigkeit abschätzen?<br />
Matthias Ludwig Pirmasens<br />
17.11.2008<br />
PH Weingarten<br />
PH Weingarten<br />
5
Der Elfmeter<br />
• Mathematische Modellbildung für<br />
Verwandlungshäufigkeit<br />
• Genial einfache Idee:<br />
– Das Tor hat vier Ecken (<strong>und</strong> eine Mitte)<br />
Matthias Ludwig Pirmasens<br />
17.11.2008<br />
Matthias Ludwig Pirmasens<br />
17.11.2008<br />
PH Weingarten<br />
PH Weingarten<br />
6
• Die Flächenidee<br />
Der Elfmeter<br />
– Tor 8Yard x 8Fuß= 7,32m x 2,44m =ca. 18m2 – Torwart 1,6m x1,9m+ 0.5x 0.95m2 x =4,45m2 π<br />
– 75% der Torfläche sind nicht abgedeckt .<br />
Matthias Ludwig Pirmasens<br />
17.11.2008<br />
Matthias Ludwig Pirmasens<br />
17.11.2008<br />
PH Weingarten<br />
PH Weingarten<br />
7
Elfmeter<br />
• Bayern München 190:245 =>77,5%<br />
• Frankfurt 143:196 =>73%<br />
Matthias Ludwig Pirmasens<br />
17.11.2008<br />
Der Elfmeter<br />
Matthias Ludwig Pirmasens<br />
17.11.2008<br />
PH Weingarten<br />
PH Weingarten<br />
8
Theoriebasis<br />
• Basis ist der klassische idealisierte<br />
Modellierungskreislauf (z.B. Blum et al.)<br />
Stufe 1 Stufe 2<br />
Verstehen<br />
RM MM Vereinfachen<br />
Strukturieren<br />
Stufe 0<br />
Mathematisieren<br />
RS SM<br />
Rechnen<br />
Stufe 5<br />
Interpretieren<br />
RE<br />
ME Stufe 3<br />
Validieren<br />
Stufe 4<br />
Vermitteln/Erklären<br />
Matthias Ludwig Pirmasens<br />
17.11.2008<br />
PH Weingarten<br />
Die Saitenaufgabe<br />
Matthias Ludwig Pirmasens<br />
17.11.2008<br />
PH Weingarten<br />
9
The String Task<br />
• Wie lang sind die Saiten eines Badminton oder<br />
Tennisschlägers? Finde eine einfache Formel<br />
für einen Verkäufer!<br />
• Schritt 1: Wir müssen die Frage verstehen!<br />
Matthias Ludwig Pirmasens<br />
17.11.2008<br />
Die Saitenaufgabe<br />
Matthias Ludwig Pirmasens<br />
17.11.2008<br />
PH Weingarten<br />
• Wir entwickeln ein einfaches Modell bei<br />
dem wir elementare <strong>Mathematik</strong><br />
benutzen. (Schritt 2 Vereinfachen/<br />
Strukturieren)<br />
– Wir nehmen an, dass der Schläger<br />
kreisförmig ist.<br />
– Als zweites denken wir uns die<br />
Saitenvierecke als Quadrate.<br />
– Die dritte Annahme: die Quadrate<br />
überdecken den Schläger komplett.<br />
PH Weingarten<br />
10
Das Realmodell<br />
Matthias Ludwig Pirmasens<br />
17.11.2008<br />
Mathematising (Build the<br />
mathematical model)<br />
e<br />
e<br />
Matthias Ludwig Pirmasens<br />
17.11.2008<br />
PH Weingarten<br />
AR<br />
Length = ⋅ 2e<br />
Asq<br />
AR<br />
Length = ⋅ 2e<br />
+ U<br />
A<br />
sq<br />
2<br />
r π<br />
Length = ⋅ 2e+ 2πr<br />
e⋅e 2<br />
r π<br />
Length = ⋅ 2+ 2πr<br />
e<br />
⎛r⎞ Length = 2rπ⎜ + 1<br />
e<br />
⎟<br />
⎝ ⎠<br />
PH Weingarten<br />
R<br />
11
Mathematising (Build the<br />
mathematical model)<br />
Matthias Ludwig Pirmasens<br />
17.11.2008<br />
The String Task<br />
L= 10,35m<br />
Matthias Ludwig Pirmasens<br />
17.11.2008<br />
⎛r⎞ Length = 2rπ⎜ + 1<br />
e<br />
⎟<br />
⎝ ⎠<br />
⎛NAL ⎞<br />
Length = UR ⎜ + 1<br />
2<br />
⎟<br />
⎝ ⎠<br />
⎛N⎞ Length = UR ⎜ + 1<br />
4<br />
⎟<br />
⎝ ⎠<br />
PH Weingarten<br />
⎛N⎞ ⎛37 ⎞<br />
L= UR⎜ + 1 = 1m + 1 = 10,25m<br />
4<br />
⎟ ⎜<br />
4<br />
⎟<br />
⎝ ⎠ ⎝ ⎠<br />
PH Weingarten<br />
12
Gedanken <strong>zum</strong> Ball:<br />
Wie lange braucht man um einen<br />
Fußball zu nähen?<br />
Wie viele Stiche braucht man für<br />
einen Fußball?<br />
Matthias Ludwig Pirmasens<br />
17.11.2008<br />
Matthias Ludwig Pirmasens<br />
17.11.2008<br />
PH Weingarten<br />
PH Weingarten<br />
13
Matthias Ludwig Pirmasens<br />
17.11.2008<br />
Matthias Ludwig Pirmasens<br />
17.11.2008<br />
PH Weingarten<br />
PH Weingarten<br />
14
Matthias Ludwig Pirmasens<br />
17.11.2008<br />
Matthias Ludwig Pirmasens<br />
17.11.2008<br />
PH Weingarten<br />
PH Weingarten<br />
15
Matthias Ludwig Pirmasens<br />
17.11.2008<br />
Matthias Ludwig Pirmasens<br />
17.11.2008<br />
PH Weingarten<br />
PH Weingarten<br />
16
Matthias Ludwig Pirmasens<br />
17.11.2008<br />
Matthias Ludwig Pirmasens<br />
17.11.2008<br />
PH Weingarten<br />
WM-Ball<br />
Aufgabe!<br />
PH Weingarten<br />
17
Matthias Ludwig Pirmasens<br />
17.11.2008<br />
Matthias Ludwig Pirmasens<br />
17.11.2008<br />
PH Weingarten<br />
PH Weingarten<br />
18
Matthias Ludwig Pirmasens<br />
17.11.2008<br />
90 Kanten<br />
10 Stiche für jede Kante.<br />
10 Sek<strong>und</strong>en für jeden Stich.<br />
9000 Sek<strong>und</strong>en<br />
2,5 St<strong>und</strong>en<br />
Matthias Ludwig Pirmasens<br />
17.11.2008<br />
PH Weingarten<br />
WM-Ball<br />
PH Weingarten<br />
19
Stufe 0:<br />
Die Realsituation wurde nicht erfasst. Es fällt schwer die<br />
<strong>Aufgaben</strong>zeichnungen der SchülerInnen mit der<br />
<strong>Aufgaben</strong>stellung in Verbindung zu bringen. Die<br />
SchülerInnen haben also nicht den Einstieg in den<br />
Modellierungskreislauf gef<strong>und</strong>en.<br />
Bsp:<br />
• Die SchülerInnen haben einfach nur geschätzt, wie lange<br />
es dauert um einen Fußball zu nähen, ohne genauere<br />
Angaben zu machen, wie sie zu dieser Schätzung<br />
gekommen sind.<br />
• Sie schreiben Zusammenhangloses auf ihr Arbeitsblatt.<br />
• Sie geben ein unbeschriftetes Arbeitsblatt ab.<br />
Matthias Ludwig Pirmasens<br />
17.11.2008<br />
Stufe 1: Die SchülerInnen haben die reale Situation<br />
erkannt <strong>und</strong> versuchen diese zu strukturieren um<br />
ein mathematisches Modell zu finden, letztendlich<br />
mündet dies aber in keiner weiterführenden Idee.<br />
Bsp:<br />
• Sie versuchen, die einzelnen Panels zu zählen,<br />
erkennen aber nicht, dass der Ball aus 5- <strong>und</strong> 6-<br />
Ecken besteht.<br />
• Sie versuchen einen Fußball aufzuzeichnen.<br />
Matthias Ludwig Pirmasens<br />
17.11.2008<br />
PH Weingarten<br />
PH Weingarten<br />
20
Stufe 2: Die SchülerInnen äußern eine sinnvolle<br />
Vermutung <strong>und</strong> sind in der Lage ein<br />
mathematisches Modell vorzuschlagen, aber<br />
dieses Modell wurde nicht konsequent<br />
mathematisiert.<br />
Bsp:<br />
• Sie zählen die 5- <strong>und</strong> 6- Ecke des Balls.<br />
Anschließend versuchen sie die Anzahl der Kanten<br />
herauszubekommen, erkennen aber nicht, dass<br />
eine Nahtstelle aus zwei Kanten besteht.<br />
Matthias Ludwig Pirmasens<br />
17.11.2008<br />
Niveaustufen<br />
2,5<br />
2<br />
1,5<br />
1<br />
0,5<br />
0<br />
Ergebnisse<br />
Fußballaufgabe<br />
5.Klasse 6.Klasse 7.Klasse 8.Klasse<br />
Matthias Ludwig Pirmasens<br />
17.11.2008<br />
PH Weingarten<br />
Signifikante Unterschiede zwischen den Jahrgangstufen 5, 6/7 <strong>und</strong> 8<br />
PH Weingarten<br />
21
35,0%<br />
30,0%<br />
25,0%<br />
20,0%<br />
15,0%<br />
10,0%<br />
5,0%<br />
0,0%<br />
Ergebnisse<br />
Fußballaufgabe<br />
level 0 level 1 level 2 level 3 Level4 level5<br />
Keine signifikanten Unterschiede zwischen Jungs <strong>und</strong> Mädchen.<br />
Matthias Ludwig Pirmasens<br />
17.11.2008<br />
45%<br />
40%<br />
35%<br />
30%<br />
25%<br />
20%<br />
15%<br />
10%<br />
5%<br />
0%<br />
40%<br />
35%<br />
30%<br />
25%<br />
20%<br />
15%<br />
10%<br />
Fußballaufgabe -Jungs<br />
Ergebnisse<br />
Level 0 Level 1 Level 2 Level 3 Level4 Level 5<br />
Fußballaufgabe-Mädchen<br />
5%<br />
0%<br />
Matthias Ludwig Level 0 Level 1 Level Pirmasens 2 Level 3<br />
17.11.2008<br />
Level4 Level 5<br />
girls<br />
boys<br />
PH Weingarten<br />
deutsch<br />
ndeutsch<br />
deutsch<br />
ndeutsch<br />
PH Weingarten<br />
22
Die Ananasaufgabe<br />
Matthias Ludwig Pirmasens<br />
17.11.2008<br />
Matthias Ludwig Pirmasens<br />
17.11.2008<br />
PH Weingarten<br />
PH Weingarten<br />
23
Matthias Ludwig Pirmasens<br />
17.11.2008<br />
Matthias Ludwig Pirmasens<br />
17.11.2008<br />
PH Weingarten<br />
PH Weingarten<br />
24
Matthias Ludwig Pirmasens<br />
17.11.2008<br />
Film<br />
Film<br />
Matthias Ludwig Pirmasens<br />
17.11.2008<br />
PH Weingarten<br />
PH Weingarten<br />
25
Eine Lösungsmöglichkeit<br />
Matthias Ludwig Pirmasens<br />
17.11.2008<br />
Matthias Ludwig Pirmasens<br />
17.11.2008<br />
PH Weingarten<br />
PH Weingarten<br />
26
Stoff der Klasse 9<br />
Matthias Ludwig Pirmasens<br />
17.11.2008<br />
Konsekutive Stufen<br />
• Durchlauf nicht immer konsekutiv<br />
.(Boromeo Ferri)<br />
• Jede Stufe stellt aber eine kognitive<br />
Hürde dar (Blum/ Leiß).<br />
• Je weiter im Kreislauf desto mehr<br />
Stufen musste man (kognitiv)<br />
überwinden.<br />
Matthias Ludwig Pirmasens<br />
17.11.2008<br />
PH Weingarten<br />
PH Weingarten<br />
27
Forschungsfragen<br />
• Ergeben sich bei der Lösung der<br />
Modellierungsaufgabe Unterschiede<br />
bzgl. der Jahrgangstufe, der Kulturen<br />
<strong>und</strong> des Geschlechts?<br />
• Welches Niveau wird erreicht?<br />
• Welche Hürden bilden besondere<br />
Schwierigkeiten?<br />
Matthias Ludwig Pirmasens<br />
17.11.2008<br />
Stufe 0<br />
Matthias Ludwig Pirmasens<br />
17.11.2008<br />
PH Weingarten<br />
PH Weingarten<br />
28
Matthias Ludwig Pirmasens<br />
17.11.2008<br />
Stufe 5<br />
Stufe 4<br />
Stufe 5<br />
Matthias Ludwig Pirmasens<br />
17.11.2008<br />
PH Weingarten<br />
PH Weingarten<br />
29
Matthias Ludwig Pirmasens<br />
17.11.2008<br />
Ergebnisse<br />
• Insgesamt geringes Niveau.<br />
• Kaum Unterschiede zwischen den<br />
Kulturen in der Gesamtperformance.<br />
• Unterschiede zwischen Jungs <strong>und</strong><br />
Mädchen (Performance & Level) .<br />
• Nach jeder Jahrgangstufe (hoch-)<br />
signifikante Leistungsunterschiede.<br />
• Verschiedene Barrierestufen.<br />
Matthias Ludwig Pirmasens<br />
17.11.2008<br />
PH Weingarten<br />
PH Weingarten<br />
30
2,5<br />
2,0<br />
1,5<br />
1,0<br />
0,5<br />
0,0<br />
C (676)<br />
D (428).<br />
145<br />
1,59<br />
Ergebnisse<br />
1,41<br />
147<br />
1,67<br />
Matthias Ludwig Pirmasens<br />
17.11.2008<br />
2,500<br />
2,000<br />
1,500<br />
1,000<br />
0,500<br />
0,000<br />
N<br />
206<br />
grade 9 grade 10 grade 11<br />
Kl. 9<br />
∅<br />
1,41<br />
SD<br />
1,25<br />
N<br />
249<br />
Kl. 10<br />
∅<br />
1,67<br />
Matthias Ludwig Pirmasens<br />
17.11.2008<br />
SD<br />
1,12<br />
1,43<br />
N<br />
221<br />
136<br />
chinese<br />
germans<br />
Kl. 11<br />
∅<br />
2,18<br />
2,16<br />
„Entwicklung“ der Jungs <strong>und</strong><br />
Mädchen<br />
grade 9 grade 10 grade 11<br />
chinese girls chinese boys german girls german boys<br />
SD<br />
1,40<br />
1,38<br />
PH Weingarten<br />
PH Weingarten<br />
31
2,5<br />
2,0<br />
1,5<br />
1,0<br />
0,5<br />
0,0<br />
grade 9 grade 10 grade 11<br />
Deutsche Mädchen: keine<br />
signifikanten Unterschiede<br />
zwischen den Jahrgangsstufen<br />
Matthias Ludwig Pirmasens<br />
17.11.2008<br />
german girls<br />
german boys<br />
Deutsche Jungs. hochsignifikante<br />
Zuwächse 11 gegen 10 <strong>und</strong> 9<br />
(p
Probleme beim <strong>Modellieren</strong><br />
(Blum et al.)<br />
• Alle Schritte des Kreislaufes sind<br />
potentielle kognitive Hürden<br />
• Schüler benutzen keine bewussten<br />
Lösungsstrategien<br />
• Schüler dürfen nicht alleine arbeiten<br />
• Lehrende geben zu viele Inhaltliche<br />
Hilfen.<br />
Matthias Ludwig Pirmasens<br />
17.11.2008<br />
Ideales St<strong>und</strong>enskript<br />
Matthias Ludwig Pirmasens<br />
17.11.2008<br />
PH Weingarten<br />
• Vorstellung der Aufgabe im Plenum<br />
• Zunächst Einzelarbeit<br />
• Gruppenarbeit<br />
• Individuelles Aufschreiben der<br />
Lösungen<br />
• Präsentation von Lösungen im Plenum<br />
• Vergleich der Lösungen <strong>und</strong><br />
reflektierender Rückblick<br />
PH Weingarten<br />
33
• Das Schullotto<br />
Weitere Beispiele<br />
– Entwerft ein geeignetes Lotto für ein<br />
Schulfest.<br />
• Wann rennen Frauen schneller als<br />
Männer?<br />
Matthias Ludwig Pirmasens<br />
17.11.2008<br />
PH Weingarten<br />
Wann rennen Frauen die 100 m<br />
<strong>und</strong> 200 m schneller als Männer?<br />
Matthias Ludwig Pirmasens<br />
17.11.2008<br />
PH Weingarten<br />
34
Zeit in Sek<strong>und</strong>en<br />
Zeit in Sek<strong>und</strong>en<br />
12<br />
11,5<br />
11<br />
10,5<br />
10<br />
y = -0,0195713x + 49,5779133<br />
R 2 = 0,9603342<br />
y = -0,009352x + 28,497734<br />
R 2 9,5<br />
9<br />
= 0,922483<br />
1930 1940 1950 1960 1970 1980 1990 2000<br />
Jahr<br />
2010 2020 2030<br />
Männer Frauen Linear (Frauen) Linear (Männer)<br />
Matthias Ludwig Pirmasens<br />
17.11.2008<br />
9,2<br />
9,19<br />
9,18<br />
9,17<br />
9,16<br />
9,15<br />
9,14<br />
9,13<br />
9,12<br />
9,11<br />
9,1<br />
100m Frauen- Männer<br />
y = -0,019x + 48,471<br />
Frauen<br />
Vergrößerung<br />
PH Weingarten<br />
y = -0,0094x + 28,627<br />
Männer<br />
2065 2066 2067 2068 2069 2070<br />
Jahr<br />
2071 2072 2073 2074 2075<br />
Matthias Ludwig Pirmasens<br />
17.11.2008<br />
PH Weingarten<br />
35
Wie genau stimmt das denn?<br />
Matthias Ludwig Pirmasens<br />
17.11.2008<br />
Zeit in Sek<strong>und</strong>en Sek<strong>und</strong>en<br />
12<br />
11,5<br />
11<br />
10,5<br />
10<br />
y = -0,0195713x + 49,5779133<br />
R 2 y = -0,0195713x + 49,5779133<br />
R = 0,9603342<br />
2 = 0,9603342<br />
Matthias Ludwig Pirmasens<br />
17.11.2008<br />
PH Weingarten<br />
y = -0,009345x + 28,483258<br />
R 2 y = -0,009352x + 28,497734<br />
9,5<br />
R = 0,930147<br />
9<br />
1930 1940 1950 1960 1970 1980 1990 2000 2010 2020 2030<br />
Jahr<br />
2 9,5<br />
= 0,922483<br />
9<br />
1930 1940 1950 1960 1970 1980 1990 2000 2010 2020 2030<br />
R(2008)=-0,009352 s/Jahr x 2008 Jahr + 28,4977s = 9,7189 s<br />
Männer Frauen Linear (Frauen) Linear (Männer)<br />
PH Weingarten<br />
36
Vergleich: 200m Männer Frauen<br />
Matthias Ludwig Pirmasens<br />
17.11.2008<br />
Das Schullotto<br />
Matthias Ludwig Pirmasens<br />
17.11.2008<br />
PH Weingarten<br />
Z.B. „6 aus 49“ auf die Schule übertragen.<br />
• Ideal Erwatungswert 1<br />
• Schätzen der Tippanzahl<br />
• Entsprechendes n über m bestimmen.<br />
• Kann sich <strong>zum</strong> Projekt ausweiten<br />
PH Weingarten<br />
37
Zusammenfassende Thesen<br />
• Zur Modellierung benötigt man sehr viel<br />
“Weltwissen“.<br />
• Je älter die Schüler desto besser.<br />
• Die Modellierungsfähigkeit scheint vom<br />
Alter abzuhängen.<br />
• Gut in Mathe - gut im <strong>Modellieren</strong> ?.<br />
Matthias Ludwig Pirmasens<br />
17.11.2008<br />
Literaturhinweis<br />
• Mathewelt 147 (Friedrichverlag ml-heft)<br />
• <strong>Mathematik</strong> <strong>und</strong> Sport (Viewegverlag)<br />
• mathematik.phweingarten.de/~ludwig/fortbildung/olympicmath/<br />
Matthias Ludwig Pirmasens<br />
17.11.2008<br />
PH Weingarten<br />
PH Weingarten<br />
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