Einfuehrung in die A.. - Mathematik

Übung
Beweisen Sie durch vollständige Induktion:
a) Für alle n Є IN gilt: 2° + 2¹ + 2² + … + 2 n‐1 = 2 n ‐1
Ind.anf: A(1): 2° = 1 = 2¹ ‐ 1 wahr
Ind.schritt: Ind.vor: A(n) 2° + 2¹ + … + 2 n‐1 = 2 n ‐1
zu zeigen: A(n+1): 2° + 2¹ + … + 2 n‐1 + 2 n = 2 n+1 ‐1
Es gilt:
2° + 2¹ + … + 2 n‐1 + 2 n
= 2 n ‐1 + 2 n mit Ind. vor.
= 2*2 n ‐1
= 2 n+1 ‐1
b) Für alle n Є IN gilt: 1² + 2² + 3² + … + n² = 1/6 n (n+1) (2n+1)
Ind.anf.: A(1): 1² = 1 = 1/6 * 1* 2* 3 = 1/6 wahr
Ind.schritt: Ind.vor: A(n): 1² + 2² + … + n² = 1/6 n (n+1) (2n+1)
Es gilt:
zu zeigen: A(n+1): 1² + 2² + … + n² + (n+1)² = 1/6 (n+1) (n+2) (2n+3)
1² + 2² + … + n² + (n+1)²
= 1/6n (n+1) (2n+1) + (n+1)² mit Ind.vor.
= (n+1) [1/6* 2n² + 1/6n + n + 1]
= 1/6 (n+1) (2n² + n + 6n + 6)
= 1/6 (n+1) (n+2) (2n+3)
q.e.d.