Vorlesung 2 - Mathematik

Lineare Algebra Martin Haas
Dozent: Prof. Dr. Matthias Ludwig
Mitschrift vom 22.04.2008
Die Relation ~ zwischen x und y ist definiert: x ~ y ⇔ x ist mit y per du.
- Reflexiv: x ~ x
- Symmetrisch: x ~ y ⇔ y ~ x
- Transitiv: x ~ y, y ~ z ⇒ x ~ z
Die Bedingung der Transitivität ist nicht erfüllt.
c) Die Gleichheitsrelation „=“ ist eine ÄR.
d) Die Relation II definiert auf Geraden im R 2 bzw. im R 3 durch g II h ⇔ g ist
parallel zu h, eine ÄR.
e) Die Relation ⊥ definiert auf den Geraden im R 2 durch g ⊥ h ⇔ g ist
senkrecht auf h keine ÄR. (Argumentation: Reflexivität und Transitivität nicht
erfüllt.)
f) Behauptung: Die Relation x ~ y ⇔ Iy – xI ist eine gerade Zahl ist eine ÄR.
- Reflexivität: x – x = 0 (0 ist gerade)
- Symmetrie: Ix – yI = 2n = Iy – xI
- Transitivität: x ~ y und y ~ z ⇒ x ~ z wegen
2
y − x = 2n
+ z − y = 2m
.
z − x = 2(
n + m)
Diese spezielle Relation teilt die Zahlen aus Z in zwei Gruppen (bzw.
Äquivalenzklassen A(x) (s. u.)): Die geraden Zahlen und die ungeraden
Zahlen.
Die Menge A(x) ist die Menge aller Elemente von X, die mit x in der Relation ~
stehen; man nennt A(x) die Äquivalenzklasse von x.
A(x) := {y∈X I y ~ x}
So bildet die Relation „II zu einer Geraden“ die ÄK A(g) := {h ∈ R 3 I h II g}.
Die Relation „Schulklasse“ bildet auf der Menge der Schüler s ∈ S die ÄK
A(s) := {r ∈ S I r ~ s} (r ist in der gleichen Klasse wie s).
Satz: Äquivalente Elemente haben dieselbe ÄK. x ~ y ⇒ A(x) = A(y). (~ ist eine ÄR)
Beweis: