Vorlesung 2 - Mathematik

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Lineare Algebra Martin Haas Dozent: Prof. Dr. Matthias Ludwig Mitschrift vom 22.04.2008 Die Relation ~ zwischen x und y ist definiert: x ~ y ⇔ x ist mit y per du. - Reflexiv: x ~ x - Symmetrisch: x ~ y ⇔ y ~ x - Transitiv: x ~ y, y ~ z ⇒ x ~ z Die Bedingung der Transitivität ist nicht erfüllt. c) Die Gleichheitsrelation „=“ ist eine ÄR. d) Die Relation II definiert auf Geraden im R 2 bzw. im R 3 durch g II h ⇔ g ist parallel zu h, eine ÄR. e) Die Relation ⊥ definiert auf den Geraden im R 2 durch g ⊥ h ⇔ g ist senkrecht auf h keine ÄR. (Argumentation: Reflexivität und Transitivität nicht erfüllt.) f) Behauptung: Die Relation x ~ y ⇔ Iy – xI ist eine gerade Zahl ist eine ÄR. - Reflexivität: x – x = 0 (0 ist gerade) - Symmetrie: Ix – yI = 2n = Iy – xI - Transitivität: x ~ y und y ~ z ⇒ x ~ z wegen 2 y − x = 2n + z − y = 2m . z − x = 2( n + m) Diese spezielle Relation teilt die Zahlen aus Z in zwei Gruppen (bzw. Äquivalenzklassen A(x) (s. u.)): Die geraden Zahlen und die ungeraden Zahlen. Die Menge A(x) ist die Menge aller Elemente von X, die mit x in der Relation ~ stehen; man nennt A(x) die Äquivalenzklasse von x. A(x) := {y∈X I y ~ x} So bildet die Relation „II zu einer Geraden“ die ÄK A(g) := {h ∈ R 3 I h II g}. Die Relation „Schulklasse“ bildet auf der Menge der Schüler s ∈ S die ÄK A(s) := {r ∈ S I r ~ s} (r ist in der gleichen Klasse wie s). Satz: Äquivalente Elemente haben dieselbe ÄK. x ~ y ⇒ A(x) = A(y). (~ ist eine ÄR) Beweis:
Lineare Algebra Martin Haas Dozent: Prof. Dr. Matthias Ludwig Mitschrift vom 22.04.2008 Wir zeigen, dass A(x) ⊆ A(y) und dass A(y) ⊆ A(x) ist. Sei z ∈ A(x) ⇒ z ~ x; wegen x ~ y gilt auf Grund der Transitivität z ~ y ⇒ z ∈A(y). ⇒ ∀ z ∈ A( x) ⇒ z ∈ A( y) ⇒ A( x) ⊆ A( y). Sei nun z ∈ A(y) ⇒ z ~ y; wegen y ~ x gilt z ~ x ⇒ ∀z ∈ A( y) ⇒ A( y) ⊆ A( x). Hier gibt es aber noch eine intelligentere Lösung: Um zu zeigen, dass A(y) ⊆ A(x), argumentiert man einfach mit der Symmetrie der ÄR x ~ y: Aus x ~ y folgt A(x) ⊆ A(y) (oben gezeigt). Nutzt man die Symmetrieeigenschaft so folgt daraus y ~ x ⇒ A(y) ⊆ A(x). (Man vertauscht im Prinzip nur die Buchstaben x und y.) Satz: Zwei ÄK sind entweder gleich oder disjunkt (haben also kein Element gemeinsam). Beweis: Haben A(x) und A(y) auch nur ein Element gemeinsam, so sind sie gleich (s. o.). Daraus folgt, dass jedes Element von X genau in einer ÄK liegt. Man spricht bei der überdeckungsfreien vollständigen Zerlegung einer Menge X auch von Partitionen, die eben durch diese Art der Zerlegung entstehen. 1.3. Abbildungen Eine Abbildung von X nach Y (oder von X in Y) ist eine Vorschrift f, die jedem x ∈X genau ein Element y aus Y zuordnet. Dieses Element wird mit f(x) bezeichnet. Die Definition lässt offen, ob es sich dabei um eine injektive, surjektive oder bijektive Abbildung handelt oder ob sie keine dieser Eigenschaften hat. f: X → Y f: x → f(x) Elemente aus X heißen Urbild Elemente aus Y heißen Bilder, sofern sie ein Urbild in X haben (aber das ist ja hier so definiert). X heißt Definitionsbereich 3
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