2 Der Körper der komplexen Zahlen - Mathematik
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Skript zu Komplexe <strong>Zahlen</strong> SS2004 M. Ludwig<br />
2 <strong>Der</strong> <strong>Körper</strong> <strong>der</strong> <strong>komplexen</strong> <strong>Zahlen</strong><br />
2.1 <strong>Der</strong> <strong>Körper</strong><br />
Die Menge <strong>der</strong> Brüche Q hat gegenüber den Natürlichen <strong>Zahlen</strong> IN und den ganzen<br />
<strong>Zahlen</strong> ZZ eine erweiterte Struktur.<br />
So gibt es in IN kein Inverses <strong>der</strong> Addition und in ZZ kein Inverses <strong>der</strong> Multiplikation.<br />
Beides existiert in Q. Außerdem gelten in Q das Distributiv-, Kommutativ- und das<br />
Assoziativgesetz.<br />
Definition: eine algebraische Struktur (K;+; ·) nennt man <strong>Körper</strong>, wenn gilt:<br />
(K1) Bezüglich <strong>der</strong> Addition (+) gelten das Assoziativgesetz und das<br />
Kommutativgesetz.<br />
Außerdem gibt es zu jedem a∈K ein b∈K mit a+b=0 ;0∈K.<br />
(K2) Bezüglich <strong>der</strong> Multiplikation (·) gelten das Assoziativgesetz und das<br />
Kommutativgesetz.<br />
Außerdem gibt es zu jedem a∈K ein b∈K mit a·b=1; 1∈ K.<br />
(K3) Es gelten die Distributivgesetze.<br />
Beispiele: 1) Q ist ein <strong>Körper</strong><br />
2) IR ist ein <strong>Körper</strong><br />
3) Q[ 2 ] ist ein <strong>Körper</strong> (Q adjungiert (=dazufügen) 2 )<br />
z.B. sind −<br />
1 1<br />
2 ; ; −<br />
3 27<br />
2 ∈ Q[ 2 ]<br />
bzgl. "+" gibt es ein Inverses zu jedem a ∈ Q[ 2 ]<br />
⇒ a 2 ∈ Q[ 2 ]<br />
-a 2 ∈ Q[ 2 ]<br />
⇒ a 2 + (-a 2 ) = 0<br />
Gibt es bzgl. "·" ein Inverses zu a 2 ?<br />
a 2 · x = 1 x∈ Q[ 2 ]?<br />
a 2 ·<br />
a<br />
2<br />
⋅ 2<br />
=1<br />
a<br />
2<br />
⋅ 2<br />
∈ Q[ 2 ]<br />
⇒ Zu jedem a 2 ∈ Q[ 2 ] gibt es ein Inverses bzgl.<br />
<strong>der</strong> Multiplikation.<br />
4) Es sei die Menge IR × IR = IR 2 gegeben.<br />
(x,y)∈ IR 2 ist die Menge <strong>der</strong> reellen <strong>Zahlen</strong>paare.<br />
- 6 -
Skript zu Komplexe <strong>Zahlen</strong> SS2004 M. Ludwig<br />
Wir definieren folgende innere Verknüpfungen:<br />
Addition « + » (x1,y1 ) + (x2,y2 ) = (x1+x2 ,y1+y2)<br />
Multiplikation « · » (x1,y1) ·( x2,y2) = (x1 x2 - y1 y2, x1 y2+ x2 y1)<br />
- Man erkennt, dass bezüglich <strong>der</strong> Addition das Assoziativgesetz und<br />
das Kommutativgesetz gelten. Außerdem ist (0,0) das Neutrale<br />
Element und es existiert ein inverses Element.<br />
- Bei <strong>der</strong> Multiplikation gelten das Assoziativgesetz und das<br />
Kommutativgesetz.<br />
Es gibt das neutrale Element (1,0),<br />
denn (1,0) · (x,y) = (x-0, 0·x + y) q.e.d.<br />
- Auch die Distributivgesetze gelten. Übung<br />
(x·a - y·b, xb + ya) !<br />
= (1,0)<br />
wir suchen a und b so, dass (a,b) invers zu (x,y) ist.<br />
I. x·a - y·b = 1 Lineares Gleichungssystem<br />
⇒ II. xb + ya = 0<br />
Zuerst eliminieren wir a.<br />
x<br />
II. · - I.<br />
y<br />
y ≠ 0<br />
2<br />
x b<br />
+ xa − xa + yb = −1<br />
y<br />
2<br />
x b<br />
+ yb = −1<br />
y<br />
b(<br />
x<br />
2<br />
b in I.<br />
xa +<br />
x<br />
xa =<br />
+ y<br />
x<br />
2<br />
2<br />
ax =<br />
x<br />
a =<br />
x<br />
2<br />
2<br />
2<br />
) = −y<br />
− y<br />
b = 2<br />
x + y<br />
y<br />
x<br />
2<br />
+ y<br />
+ y<br />
x<br />
x<br />
2<br />
2<br />
2<br />
2<br />
+ y<br />
+ y<br />
+ y<br />
2<br />
2<br />
= 1<br />
− y<br />
⇒ zu z=(x,y) ist z -1 =<br />
2<br />
2<br />
für (x,y) ≠ 0 .<br />
2<br />
y<br />
·<br />
y<br />
: x≠ 0<br />
⎛<br />
⎜<br />
⎝ x<br />
2<br />
- 7 -<br />
x<br />
+ y<br />
2<br />
y ≠ 0<br />
− y ⎞<br />
;<br />
⎟ das multiplikativ Inverse<br />
2 2<br />
x + y ⎠
Skript zu Komplexe <strong>Zahlen</strong> SS2004 M. Ludwig<br />
⇒ (IR 2 ,+, ·) ist bezüglich <strong>der</strong> oben genannten inneren<br />
Verknüpfung ein <strong>Körper</strong>!<br />
Genau diese inneren Verknüpfungen fand 1572 Bombelli in<br />
seiner L’Algebra, als er sich mit den Rechenregeln für diese<br />
mystischen Zahl befasste (Kapitel 1 S. 5).<br />
(IR 2 ,+, ·) ist mit obiger Verknüpfung deshalb <strong>der</strong> <strong>Körper</strong> C <strong>der</strong><br />
Komplexen <strong>Zahlen</strong>.<br />
Definition: ein <strong>Körper</strong> heißt angeordnet, wenn folgende Axiome gelten:<br />
1. Trichotomie: ∀ a,b∈K ist genau eine von drei Dingen eins <strong>der</strong> 3 Relationen<br />
wichtig. a>b a=b ab und b>c folgt a>c<br />
3. Monotonie <strong>der</strong> Addition:<br />
Aus a>b folgt c>0 ac > bc<br />
∀<br />
2.2 IR als Teilkörper von C<br />
Wir haben C aus R konstruiert. Es liegt also nahe, dass R ⊂ C.<br />
Es gibt eine eindeutige Abbildung von 3 a ∀ mit f : x a ( x,<br />
0)<br />
x ∈3<br />
(x,<br />
0)<br />
∈C.<br />
( x,<br />
y)<br />
Es gilt:<br />
f ( 1)<br />
= ( 1,<br />
0)<br />
f ( 5 ⋅ 8)<br />
= f<br />
( 5)<br />
⋅ f<br />
( 8)<br />
=<br />
( 5,<br />
0)<br />
( 8,<br />
0)<br />
(x, 0)<br />
∈C<br />
x ∈R<br />
8,<br />
0)<br />
( 40,<br />
0)<br />
f ( a + b)<br />
= f ( a)<br />
+ f ( b)<br />
= ( a,<br />
0)<br />
+ ( b,<br />
0)<br />
= ( a + b,<br />
0)<br />
⋅<br />
=<br />
( 5<br />
⋅<br />
=<br />
=<br />
f<br />
( 40)<br />
C ist eine <strong>Körper</strong>erweiterung von R. Allerdings ist C nicht mehr angeordnet.<br />
Beweis (Wi<strong>der</strong>spruch): Annahme: C ist angeordnet<br />
Zunächst machen wir uns klar das gilt: (0,1) · (0,1)=(-1,0) = -1∈R<br />
Aus Trichotomie folgt, da (0,1) ≠ 0: (0,1) > 0 o<strong>der</strong> (0,1) < 0.<br />
Jede dieser Annahmen führt zum Wi<strong>der</strong>spruch.<br />
1) (0,1) · (0,1) > (0,1) · 0 ⇒ - (0,1)=(0,-1) > 0<br />
2) (0,1) < 0 ⇒ - (0,1) > 0<br />
-(0,1) · - (0,1) > - (0,1) · 0<br />
-1 > 0 =<br />
- 8 -<br />
·
Skript zu Komplexe <strong>Zahlen</strong> SS2004 M. Ludwig<br />
2.3 Beson<strong>der</strong>heiten <strong>der</strong> Multiplikation in C<br />
Rechenregeln aus 2.1:<br />
1) (3,0) · ( 5,0) = (3·5-0·0, 3·0+0·5) =(15,0)<br />
2) (0,3) · ( 0,5) = (0·0-3·5, 0·5+3·0)= ( -15,0) ∈R<br />
3) (0,7) · ( 0,7) = (0· 0-7·7, 0· 7+7· 0)= (-49,0) ∈R<br />
Die Beispiele 2) und 3) zeigen, dass es möglich ist, durch Multiplikation von zwei<br />
<strong>Zahlen</strong> aus C wie<strong>der</strong> in R zu landen.<br />
−<br />
⇒ ∀z = ( 0,<br />
z)<br />
∈C<br />
gilt z · z ∈ R<br />
Das hat weitreichende Folgen!<br />
2<br />
Die einfache quadratische Gleichung x + 1 = 0 hat jetzt eine Lösung.<br />
Man definiert:<br />
Beispiel:<br />
x<br />
x<br />
x<br />
x<br />
2<br />
1/<br />
2<br />
1/<br />
2<br />
1/<br />
2<br />
⇒ x<br />
( 0,<br />
+ 1)<br />
=<br />
( 0,<br />
−1)<br />
= −<br />
+ 2x<br />
+ 2 = 0<br />
x<br />
1<br />
=<br />
2<br />
1<br />
=<br />
2<br />
= −1<br />
±<br />
1<br />
2<br />
−1<br />
−1<br />
( − 2 ± 4 − 8)<br />
( − 2 ± 2 −1)<br />
= ( −1,<br />
1)<br />
−1<br />
= ( −1,<br />
−1)<br />
Die Gleichung hat in C zwei Lösungen.<br />
Probe für (-1,-1):<br />
(-1,-1)² + 2(-1,-1) + 2<br />
= (1-1,1+1) +2(-1,-1) + (2,0)<br />
= (0,2) + (-2,-2) + (2,0)<br />
= (0,0) = 0 q.e.d.<br />
x<br />
x<br />
x<br />
2<br />
1<br />
2<br />
= −1<br />
= ( 0,<br />
1)<br />
= ( 0,<br />
−1)<br />
Die Probe für (-1,1) bleibt dem Leser überlassen.<br />
- 9 -<br />
denn<br />
denn<br />
( 0,<br />
1)<br />
⋅ ( 0,<br />
1)<br />
= ( −1,<br />
0)<br />
= −1<br />
( 0,<br />
−1)<br />
⋅ ( 0,<br />
−1)<br />
=<br />
( 0<br />
−1,<br />
0)<br />
= −1
Skript zu Komplexe <strong>Zahlen</strong> SS2004 M. Ludwig<br />
2.4 Die imaginäre Einheit<br />
−1 = ( 0,<br />
1)<br />
wird abgekürzt mit i .<br />
i bezeichnet man als imaginäre Einheit.<br />
i = − 1<br />
i = (0,1)<br />
=ˆ i<br />
⇒ (a, b) a + b ∈C<br />
Die <strong>komplexen</strong> <strong>Zahlen</strong> haben nun die Form<br />
z = a + i b a, b∈R;<br />
z∈C<br />
↑<br />
↑<br />
Realteil Imaginärteil<br />
Summe und Produkt zweier <strong>Zahlen</strong> aus C<br />
zu beachten: i · i = -1<br />
z + z<br />
1<br />
2<br />
z 1=<br />
(a + bi ) z 2 = (c + d i )<br />
(a + b i ) + (c + di ) = a + c + i · (b + d)<br />
1 2 z z ⋅<br />
(a + b i ) · (c + d i ) = ac + i ad + i bc +i ² bd<br />
= ac + i · (ad + bc) - bd<br />
= ac – bd + i · (ad + bc)<br />
*<br />
Mit z wird die Konjugierte von z bezeichnet!<br />
*<br />
z = (a - bi ), wenn z = a + b i die Bezeichnung ist.<br />
*<br />
Manchmal findet man für z auch z .<br />
2.5 Rechnen im <strong>Körper</strong> <strong>der</strong> <strong>komplexen</strong> <strong>Zahlen</strong><br />
*<br />
z ⋅ z = (a + b i ) · (a - bi )<br />
*<br />
z ⋅ z = a² - i ab + i ab – i ² b²<br />
*<br />
z ⋅ z = a² + b²<br />
*<br />
z ⋅ z<br />
⇒ = 1<br />
2 2<br />
a + b<br />
* ⎛ z ⎞<br />
⇒ z ⋅ ⎜ = 1 = z ⋅ z<br />
2 2<br />
a b ⎟<br />
⎝ + ⎠<br />
⇒ z<br />
−1<br />
*<br />
z<br />
=<br />
z ⋅ z *<br />
−1<br />
−1<br />
Mit z wird das Inverse von z bezeichnet.<br />
- 10 -
Skript zu Komplexe <strong>Zahlen</strong> SS2004 M. Ludwig<br />
Beispielaufgaben:<br />
1) z = (3 - 4i )<br />
u = (-2+3i )<br />
z·u = (3 - 4i )(-2+3 i )<br />
= -6 +9i +8 i +12<br />
= 6 + 17 i<br />
2) z = (7 – 2 i ) gesucht ist<br />
3)<br />
iz<br />
z<br />
z<br />
1<br />
2<br />
−1<br />
2<br />
1/<br />
2<br />
z<br />
*<br />
z<br />
=<br />
z ⋅ z<br />
− 6 ±<br />
=<br />
= 3i<br />
− 4<br />
*<br />
+ 6z<br />
− 25i<br />
= 0<br />
−1<br />
z<br />
7 + 2i<br />
7 + zi<br />
= =<br />
49 + 4 53<br />
36 − 4i<br />
2i<br />
− 6 ± 36 −100<br />
=<br />
2i<br />
− 6 ± 8i<br />
⎛ i ⎞<br />
=<br />
⋅⎜<br />
⎟<br />
2i<br />
⎝ i ⎠<br />
− 6i<br />
± 8<br />
= = 3i<br />
± 4<br />
− 2<br />
= 3i<br />
+ 4<br />
1/<br />
2<br />
z<br />
1/<br />
2<br />
z<br />
1/<br />
2<br />
z<br />
z<br />
( − 25i)<br />
)<br />
- 11 -
Skript zu Komplexe <strong>Zahlen</strong> SS2004 M. Ludwig<br />
4) z = i gesucht ist z<br />
z = a + ib = i<br />
⇒ ( a + ib)<br />
⋅ ( a + ib)<br />
= i<br />
2<br />
⇒ a<br />
2<br />
+ 2abi<br />
− b = i<br />
I.<br />
2 2<br />
a − b = 0 Realteil<br />
⇒ II. 2 ab = 1 Imaginärteil<br />
2 2<br />
aus I. a = b I.‘<br />
2 1<br />
2<br />
aus II. a = II.‘⇒ 2 a aus I.‘ in II.‘<br />
4b<br />
⇒<br />
⇒ b<br />
⇒ b<br />
⇒ b<br />
2 2<br />
2<br />
i = + i o<strong>der</strong> i = − − i<br />
2 2<br />
2<br />
5) zu zeigen: (z1·z2) * = z1 * ·z2 *<br />
(z1+z2) * = z1 * +z2 *<br />
Linearität <strong>der</strong> Konjugation<br />
[(a+ )(x+i y)] *<br />
ib<br />
[ax - by+i (bx+ay)] * =<br />
ax – by - i (bx+ay)<br />
i i<br />
ax – by - i (bx+ay) q.e.d<br />
2<br />
4<br />
2<br />
⇒ b = ±<br />
⇒ a = ±<br />
(a + i b) * ·(x + y) * = (a - b) (x - i y)=<br />
- 12 -<br />
2<br />
2<br />
1<br />
= 2<br />
4b<br />
1<br />
=<br />
4<br />
1<br />
= nur diepositive<br />
Lösung ist möglich<br />
2<br />
2<br />
2<br />
2<br />
2