2 Der Körper der komplexen Zahlen - Mathematik

Skript zu Komplexe Zahlen SS2004 M. Ludwig
2.3 Besonderheiten der Multiplikation in C
Rechenregeln aus 2.1:
1) (3,0) · ( 5,0) = (3·5-0·0, 3·0+0·5) =(15,0)
2) (0,3) · ( 0,5) = (0·0-3·5, 0·5+3·0)= ( -15,0) ∈R
3) (0,7) · ( 0,7) = (0· 0-7·7, 0· 7+7· 0)= (-49,0) ∈R
Die Beispiele 2) und 3) zeigen, dass es möglich ist, durch Multiplikation von zwei
Zahlen aus C wieder in R zu landen.
−
⇒ ∀z = ( 0,
z)
∈C
gilt z · z ∈ R
Das hat weitreichende Folgen!
2
Die einfache quadratische Gleichung x + 1 = 0 hat jetzt eine Lösung.
Man definiert:
Beispiel:
x
x
x
x
2
1/
2
1/
2
1/
2
⇒ x
( 0,
+ 1)
=
( 0,
−1)
= −
+ 2x
+ 2 = 0
x
1
=
2
1
=
2
= −1
±
1
2
−1
−1
( − 2 ± 4 − 8)
( − 2 ± 2 −1)
= ( −1,
1)
−1
= ( −1,
−1)
Die Gleichung hat in C zwei Lösungen.
Probe für (-1,-1):
(-1,-1)² + 2(-1,-1) + 2
= (1-1,1+1) +2(-1,-1) + (2,0)
= (0,2) + (-2,-2) + (2,0)
= (0,0) = 0 q.e.d.
x
x
x
2
1
2
= −1
= ( 0,
1)
= ( 0,
−1)
Die Probe für (-1,1) bleibt dem Leser überlassen.
- 9 -
denn
denn
( 0,
1)
⋅ ( 0,
1)
= ( −1,
0)
= −1
( 0,
−1)
⋅ ( 0,
−1)
=
( 0
−1,
0)
= −1