2 Der Körper der komplexen Zahlen - Mathematik
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Skript zu Komplexe <strong>Zahlen</strong> SS2004 M. Ludwig<br />
4) z = i gesucht ist z<br />
z = a + ib = i<br />
⇒ ( a + ib)<br />
⋅ ( a + ib)<br />
= i<br />
2<br />
⇒ a<br />
2<br />
+ 2abi<br />
− b = i<br />
I.<br />
2 2<br />
a − b = 0 Realteil<br />
⇒ II. 2 ab = 1 Imaginärteil<br />
2 2<br />
aus I. a = b I.‘<br />
2 1<br />
2<br />
aus II. a = II.‘⇒ 2 a aus I.‘ in II.‘<br />
4b<br />
⇒<br />
⇒ b<br />
⇒ b<br />
⇒ b<br />
2 2<br />
2<br />
i = + i o<strong>der</strong> i = − − i<br />
2 2<br />
2<br />
5) zu zeigen: (z1·z2) * = z1 * ·z2 *<br />
(z1+z2) * = z1 * +z2 *<br />
Linearität <strong>der</strong> Konjugation<br />
[(a+ )(x+i y)] *<br />
ib<br />
[ax - by+i (bx+ay)] * =<br />
ax – by - i (bx+ay)<br />
i i<br />
ax – by - i (bx+ay) q.e.d<br />
2<br />
4<br />
2<br />
⇒ b = ±<br />
⇒ a = ±<br />
(a + i b) * ·(x + y) * = (a - b) (x - i y)=<br />
- 12 -<br />
2<br />
2<br />
1<br />
= 2<br />
4b<br />
1<br />
=<br />
4<br />
1<br />
= nur diepositive<br />
Lösung ist möglich<br />
2<br />
2<br />
2<br />
2<br />
2
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