2 Der Körper der komplexen Zahlen - Mathematik

Skript zu Komplexe Zahlen SS2004 M. Ludwig
2.4 Die imaginäre Einheit
−1 = ( 0,
1)
wird abgekürzt mit i .
i bezeichnet man als imaginäre Einheit.
i = − 1
i = (0,1)
=ˆ i
⇒ (a, b) a + b ∈C
Die komplexen Zahlen haben nun die Form
z = a + i b a, b∈R;
z∈C
↑
↑
Realteil Imaginärteil
Summe und Produkt zweier Zahlen aus C
zu beachten: i · i = -1
z + z
1
2
z 1=
(a + bi ) z 2 = (c + d i )
(a + b i ) + (c + di ) = a + c + i · (b + d)
1 2 z z ⋅
(a + b i ) · (c + d i ) = ac + i ad + i bc +i ² bd
= ac + i · (ad + bc) - bd
= ac – bd + i · (ad + bc)
*
Mit z wird die Konjugierte von z bezeichnet!
*
z = (a - bi ), wenn z = a + b i die Bezeichnung ist.
*
Manchmal findet man für z auch z .
2.5 Rechnen im Körper der komplexen Zahlen
*
z ⋅ z = (a + b i ) · (a - bi )
*
z ⋅ z = a² - i ab + i ab – i ² b²
*
z ⋅ z = a² + b²
*
z ⋅ z
⇒ = 1
2 2
a + b
* ⎛ z ⎞
⇒ z ⋅ ⎜ = 1 = z ⋅ z
2 2
a b ⎟
⎝ + ⎠
⇒ z
−1
*
z
=
z ⋅ z *
−1
−1
Mit z wird das Inverse von z bezeichnet.
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