Überblick über die Kurvendiskussion (1) - MatheNexus

( ) −72
( ) 120
( ) 180
fss xe 3
b) Zum Graphen von f ' werden Steig- und Fallpfeile gezeichnet:
(2.2) Man kann zum Nachweis der Extremstellen auch die 2. Ableitung f '' benutzen.
= > 0 => bei xe3 = 2 gibt es ein relatives Minimum
(3) Werden nicht nur Extremstellen (d.h. nur die x-Werte) gesucht, muss man noch die Funktionswerte (y-Werte)
berechnen. Dazu werden die x-Werte in f (nicht in f ' und nicht in f '' ) eingesetzt.
f( xe1) = 0 f( xe2) −64
= f xe 3
( ) −189
= f( −4)
= 27 f( 4)
= 475
Max Min Min RMax RMax
Der Vorzeichenwechsel von f '
ist der Nachweis für die Existenz
der Extremstellen.
a) Die 2. Ableitung f '' wird gebildet und
b) die Kandidaten für die Extremstellen werden in f '' (nicht in f und nicht in f ' ) eingesetzt und
das Vorzeichen bestimmt die Art der relativen Extremstelle.
An den Rändern funktioniert dieses Verfahren nicht.
3 1
a) f '' : fss( x)
3 ⋅ 12 x −
2 1
⋅ 2 ⋅ 24 x −
:=
+ ⋅ − 60
b) fss xe 1
fss( x)
36 x 2
→ ⋅ + 48 ⋅ x − 60
fss xe 2
= < 0 => bei xe1 = −1
gibt es ein relatives Maximum
= > 0 => bei xe2 = −3
gibt es ein relatives Minimum
(4) Die absoluten Extrempunkte erhält man, wenn man den absolut größten und den absolut kleinsten
Funktionswert gefunden hat. (Macht keinen Sinn, wenn die Funktion unbeschränkt ist)
Hier ist das Randmaximum (4; 475) absolutes Maximum und das relative Minimum (-3; -189) absolutes Minimum.