Besondere Lage einer Gerade oder Ebene im ... - MatheNexus

MK 5.3.2012 LageKoordsys.mcd
Besondere Lage einer Gerade oder Ebene im Koordinatensystem
Die Koordinatenachsen:
→
Beispiel g2 : x
⎛
⎜
⎜
⎜
⎝
0
= λ ⋅ 1 Die x2-Achse 0
⎞ ⎟⎟
⎟
⎠
Alle Koordinatenachsen enthalten den
Ursprung als Aufpunkt.
Die Einheitsvektoren der Achsen sind
die Richtungsvektoren der jeweiligen
Koordinatenachse.
Punkt auf einer Achse: Immer wenn zwei Komponenten Null sind, liegt ein Punkt auf einer Achse.
Beispiel P( 4 , 0 , 0)
liegt auf der x1-Achse Die Koordinatenebenen:
→
x1x2-Koordinatenebene: x
→
x1x3-Koordinatenebene: x
→
x2x3-Koordinatenebene: x
Alle Koordinatenebenen enthalten den
Ursprung als Aufpunkt.
In Parameterform sind zwei linear
unabhängige Vektoren der jeweiligen
Ebene Richtungsvektoren, z. B.
→ →
e1 und e2 für die x x -Koordinatenebene.
1 2
Der andere Einheitsvektor ist dann
→
Normalenvektor der Ebene, z. B. ist e3 der Normalenvektor der x1x2-Koordinaten ebene.
Parameterform Normalenform Koordinatenform
⎛
⎜
⎜
⎜
⎝
1
= λ ⋅ 0 + μ ⋅
⎛
⎜
⎜
⎜
⎝
0
1
⎞ ⎟⎟⎟⎠
= λ ⋅ 0 + μ ⋅
⎛
⎜
⎜
⎜
⎝
0
0
⎞ ⎟⎟⎟⎠
= λ ⋅ 1 + μ ⋅
0
⎞ ⎟⎟⎟⎠
⎛
⎜
⎜
⎜
⎝
⎛
⎜
⎜
⎜
⎝
⎛
⎜
⎜
⎜
⎝
0
1
0
0
0
1
0
0
1
⎞ ⎟⎟⎟⎠
⎞ ⎟⎟⎟⎠
⎞ ⎟⎟⎟⎠
⎛
⎜
⎜
⎜
⎝
⎛
⎜
⎜
⎜
⎝
⎛
⎜
⎜
⎜
⎝
0
0
1
0
1
0
1
0
0
⎞ ⎟⎟⎟⎠
⎞ ⎟⎟⎟⎠
⎞ ⎟⎟⎟⎠
→
⋅ x = 0 x3 = 0
→
⋅ x = 0 x2 = 0
→
⋅ x = 0 x1 = 0
Punkt auf einer Ebene: Immer wenn eine Komponente Null ist, liegt ein Punkt in einer Koordinatenebene.
Beispiel P( 2 , −1
, 0)
liegt in der x1x2-Koordinatenebene

Problem: Wie liegt die Gerade g im Koordinatensystem?
Gegeben:
→ →⎯ →
Gerade g: x = ap + λ ⋅ rv mit Aufpunktvektor und Richtungsvektor
Die Gerade liegt parallel zu einer Koordinatenachse:
(Die Ebene liegt dann auch senkrecht zu zwei Koordinatenachsen bzw senkrecht zu einer Koordinatenebene
bzw. parallel zu zwei Koordinatenebenen)
→
Beispiele: x
→
x
⎛
⎜
⎜
⎜
⎝
−1
Der Richtungsvektor von g liegt parallel zu einem der drei
Einheitsvektoren und senkrecht zu den anderen beiden.
Ist die Gerade g echt parallel, gehört der Ursprung nicht zu g.
= 0 + λ ⋅ 7 ist echt parallel zur x2-Koordinatenachse ⎛
⎜
⎜
⎜
⎝
3
2
⎟
⎞
⎟
⎟
⎠
⎛
⎜
⎜
⎜
⎝
0
0
⎞ ⎟⎟
⎟
⎠
= 0 + λ ⋅ 0 ist identisch mit der x1-Koordinatenachse 0
⎞ ⎟⎟⎟⎠
⎛
⎜
⎜
⎜
⎝
−5
0
⎟
⎞
⎟
⎟
⎠
Eine Gerade g ist dann parallel zu einer Koordinatenachse, wenn im Richtungsvektor von g zwei Nullen sind.
Die Gerade liegt parallel zu einer Koordinatenebene:
(Die Ebene liegt dann auch senkrecht zu einer Koordinatenachse bzw. senkrecht zu den zwei anderen
Koordinatenebenen bzw parallel zu zwei Koordinatenachsen)
→
Beispiele: x
→
x
⎛
⎜
⎜
⎜
⎝
−1
Der Richtungsvektor von g liegt in einer
Koordinatenebene und senkrecht zu einem
Einheitsvektor.
Ist die Gerade g echt parallel, liegt der Aufpunkt
nicht auf der Koordinatenebene.
= 2 + λ ⋅ 5 ist echt parallel zur x1x2-Koordinatenebene ⎛
⎜
⎜
⎜
⎝
3
0
⎟
⎞
⎟
⎟
⎠
⎛
⎜
⎜
⎜
⎝
3
0
⎞ ⎟⎟⎟⎠
= −2
+ λ ⋅ 5 liegt in der x2x3-Koordinatenebene 3
⎟
⎞
⎟
⎟
⎠
⎛
⎜
⎜
⎜
⎝
0
−1
⎟
⎞
⎟
⎟
⎠
Eine Gerade g ist dann parallel zu einer Koordinatenebene, wenn im Richtungsvektor von g eine Null ist.

Problem: Wie liegt die Ebene E im Koordinatensystem?
Die Ebene liegt in Normalen- oder Koordinatenform vor. Falls die Ebene in Parameterform vorliegt, wird die
Ebene in Normalenform umgewandelt.
Gegeben:
Ebene E:
nv ⋅ ( xv − av)
= 0 Normalenform
oder
nv1 ⋅ xv1 + nv2 ⋅ xv2 + nv3 ⋅ xv3 − av0 = 0
Die Ebene liegt parallel zu einer Koordinatenebene:
(Die Ebene liegt dann auch senkrecht zu einer Koordinatenachse bzw. senkrecht zu den zwei anderen
Koordinatenebenen bzw parallel zu zwei Koordinatenachsen)
Beispiele:
⎛
⎜
⎜
⎜
⎝
0
0
−4
⎟
⎞
⎟
⎟
⎠
⎡
⎢
⎢
⎣
⎛
⎜
⎜
⎝
Der Normalenvektor von E liegt parallel zu einem der drei
Einheitsvektoren und senkrecht zu den anderen beiden.
Ist die Ebene E echt parallel, gehört der Ursprung nicht
zu E.
→⎢
1
⎜ ⎟
⋅ x − −3
= 0 ist echt parallel zur x1x2-Koordinatenebene 2
⎞⎤
⎥⎥⎥⎦
⎟
⎟
⎠
−3x1 − 4 = 0
ist echt parallel zur x2x3-Koordinatenebene ⎛
⎜
⎜
⎜
⎝
3
0
0
⎞ ⎟⎟⎟⎠
⎡
⎢
⎢
⎣
⎛
⎜
⎜
⎝
→
x
0
⎢ ⎜
⋅ − 7 = 0 ist identisch mit der x2x3-Koordinatenebene 1
⎞
⎟⎟⎟⎠
⎤
⎥⎥⎥⎦
⎛
⎜
⎜
⎜
⎝
3
0
0
⎞ ⎟⎟⎟⎠
⎛
⎜
⎜
⎜
⎝
0
⋅ 7 = 0
Eine Ebene E ist dann parallel zu einer Koordinatenebene, wenn im Normalenvektor von E zwei Nullen sind.
1
⎞ ⎟⎟⎟⎠

Die Ebene liegt senkrecht zu einer Koordinatenebene:
(Die Ebene liegt dann auch parallel zu einer Koordinatenachse)
Beispiele:
⎛
⎜
⎜
⎜
⎝
1
0
−4
⎟
⎞
⎟
⎟
⎠
⎡
⎢
⎢
⎣
⎛
⎜
⎜
⎝
Der Normalenvektor von E liegt senkrecht zu einem
Einheitsvektor.
Ist die Ebene E echt parallel zu einer Koordinatenachse,
gehört der Ursprung nicht zu E.
→⎢
−3
⎜ ⎟
⋅ x − 7 = 0 ist echt parallel zur x2-Koordinatenachse 2
⎞⎤
⎥
⎟⎥
⎟⎥
⎠⎦
2x2 − 4x3 − 5 = 0 ist echt parallel zur x1-Koordinatenachse ⎛
⎜
⎜
⎜
⎝
2
−1
0
⎟
⎞ ⎡
⎟ ⎢
⎟
⎠
⎢
⎣
⎛
⎜
⎜
⎝
→⎢
0
⎜ ⎟
⋅ x − 0 = 0
11
⎞⎤
⎥
⎟⎥
⎟⎥
⎠⎦
ist parallel zur x 3 -Koordinatenachse,
enthält diese sogar
⎛
⎜
⎜
⎜
⎝
2
−1
0
⎟
⎞ ⎛
⎜
⎟ ⎜
⎟
⎠
⎜
⎝
Eine Ebene E ist dann parallel zu einer Koordinatenebene, wenn im Normalenvektor von E eine Null ist.
Die Ebene halbiert einen (vier) Oktantanten (Winkelhalbierende Ebene):
(Die Ebene liegt dann auch parallel zu einer Koordinatenachse)
Beispiele:
⎛
⎜
⎜
⎜
⎝
2
0
−2
⎟
⎞
⎟
⎟
⎠
⎡
⎢
⎢
⎣
⎛
⎜
⎜
⎝
→⎢
0
⎜ ⎟
⋅ x − −5
= 0
0
⎞⎤
⎥⎥⎥⎦
⎟
⎟
⎠
halbiert die
x 1 x 3 -Koordinatenebene,
enthält die
x 2 -Koordinatenachse
Der Normalenvektor von E liegt senkrecht zu einem
Einheitsvektor - wie beim vorigen Fall.
Die Ebene E enthält eine Koordinatenachse, also
gehört der Ursprung zu E.
0
⋅ 0 = 0
11
⎟
⎞
⎟
⎟
⎠

2x2 + 2x3 = 0
halbiert die
x 1 x 2 -Koordinatenebene,
enthält die
x 3 -Koordinatenachse
−4x2 − 4x3 = 0
halbiert die
x 2 x 3 -Koordinatenebene,
enthält die
x 1 -Koordinatenachse
2x2 + 2x3 = 0
halbiert die
x 1 x 2 -Koordinatenebene,
enthält die
x 3 -Koordinatenachse

2x2 + 2x3 3
− = 0
2
halbiert nicht die
x 1 x 2 -Koordinatenebene,
ist nur eine Parallelebene