Die zweite Ableitung - MatheNexus

1. Krümmung:
Die zweite Ableitung
- Krümmungseigenschaft -
GS - 24.08.04 - abl_05_zweiteAbl.mcd
Definition:
Unter der Krümmung einer Funktion f versteht man die "Steigung der Steigung".
Die Funktion f heißt linksgekrümmt (lk), wenn die Steigung der Tangente zunimmt.
Die Funktion f heißt rechtsgekrümmt (rk), wenn die Steigung der Tangente abnimmt.
Es gilt: Die "Steigung der Steigung" kann über die Ableitung der 1. Ableitung untersucht werden,
also wird die 2. Ableitung betrachtet.
Beispiel 1: Gegeben ist eine Funktion 4. Grades mit ihren Ableitungen.
Funktion: f( x)
1
8 x4
1
⋅
4 x3 − ⋅ −
:=
d
1. Ableitung: fx( x)
:= f( x)
dx
13
8 x2 ⋅
1
2 x3
3
⋅
4 x2 − ⋅ −
→
7
4 x ⋅ + 1 +
13
4 x ⋅
2
d 3
2. Ableitung: fxx( x)
f( x)
2
dx
2 x2
3
⋅
2 x ⋅ −
13
:=
→
−
4
+
7
4

Funktion 4. Grades
4
WP 1
2
4 2 0 2 4 6
2
4
6
Funktion
1. Ableitung
2. Ableitung
Nun gilt:
Die maximale Steigungsänderung erfolgt in den Extremwerten der 1. Ableitung, das sind die
Nullstellen der 2. Ableitung.
Da sich im Extremum der 1. Ableitung das Vorzeichen der Steigungsänderung ändert, muss sich also
auch das Krümmungsverhalten ändern.
Kriterium für das Krümmungsverhalten:
Die Funktion f heißt linksgekrümmt (lk) ⇔ f´´(x) > 0
Die Funktion f heißt rechtsgekrümmt (rk) ⇔ f´´(x) < 0
2. Wendepunkt:
Definition:
Unter dem Wendepunkt einer einer Funktion versteht man den Kurvenpunkt (x 0 /f(x 0 )), in dem sich das
Krümmungsverhalten ändert.
Satz: Notwendige und hinreichende Bedingung für einen Wendepunkt (FS Seite 63 / G4b)
WP 2
Notwendig: f´´ ( x0) = 0 und hinreichend: f´´´ ( x0) ≠ 0
oder hinreichend: x 0 ist einfache Nullstelle der 2. Ableitung

Funktion
4. Terrassenpunkt:
f´´(x) > 0
2. Abl.
1. Abl.
Wendepunkt
Nun gilt:
Im Tiefpunkt einer Funktion f ist der Graph linksgekrümmt, im Hochpunkt einer Funktion f ist der
Graph rechtsgekrümmt. Das liefert ein weiteres Kriterium für die Art der Extema.
3. Art des Extremums über die Krümmung:
lk
TP
WP 1
Funktion mit Wendepkt.
4
f´´(x) < 0
Wendepunkt
Satz: Notwendige und Hinreichende Bedingung für die Art des Extremums (FS Seite 63 / G4c)
Die Funktion f sei im Intervall ]a;b[ zweimal differenzierbar.
Gilt f´(x 0 ) = 0 und f´´(x 0 ) < 0, so ist das Extremum ein rel. Maximum: Hochpunkt
Gilt f´(x 0 ) = 0 und f´´(x 0 ) > 0, so ist das Extremum ein rel. Minimum: Tiefpunkt
2
lk = linksgekrümmt
rk = rechtsgekrümmt
Nun gilt:
Die Wendepunkte einer Funktion f sind also die Nullstellen der 2. Ableitung f´´ und gleichzeitig die Ex-
trema der 1. Ableitung. Dieses Extremum der 1. Ableitung kann nun selbst Nullstelle sein, der Kurven-
punkt ist dann ein Wendepunkt mit horizontaler Tangente, falls sich das Vorzeichen der 2. Ableitung
ändert.
Definition:
Unter dem Terrassenpunkt einer Funktion versteht man einen Wendepunkt mit horizontaler
HP
rk
TP
f´´(x) > 0
4 2 0 2 4 6
2
4
6
WP 2
lk

Terrassenpunkt Wendepunkt mit horizontaler
Tangente.
Beispiel 2: Gegeben ist eine Funktion 4. Grades mit ihren Ableitungen.
Funktion:
1. Ableitung:
2. Ableitung:
Horizontale Tangenten:
Nullstellen der 2. Ableitung:
Funktionswerte:
f( x)
:=
fxx( x)
1
8 x4 ⋅
d
fx( x)
:= f( x)
dx
:=
3
2 x3 − ⋅ 6 x 2
+ ⋅ − 8⋅x + 2
→
2
d 3
f( x)
2
dx
2 x2 → ⋅ − 9⋅x + 12
1
2 x3 ⋅
1
2 x3 ⋅
3
2 x2 ⋅ − 9⋅x + 12 = 0 auflösen, x
f( 1)
= −1.375
f( 2)
= 0
f( 4)
= 2
9
2 x2 − ⋅ + 12⋅x − 8
9
2 x2 − ⋅ + 12⋅x − 8 = 0 auflösen, x
→
⎛
⎜
⎝
Tiefpunkt: TP( 1 / − 1.375 )
Wendepunkt: WP ( 2 / 0 )
Terrassenpunkt: TeP ( 4 / 2 )
2
4
⎞ ⎟⎠
→
⎛
⎜
⎜
⎜
⎝
1
4
4
⎞ ⎟⎟
⎟
⎠
Wendepunkt
Extremum
kein Extremum
Wendepunkt mit hor. Tang.

Funktion
4
3
2
1
2. Abl.
f´´(x) > 0
TP
1. Abl.
Maximale Krümmungsintervalle: abl_08_Monotonie.mcd
Ein Maß für die Krümmung: abl_02_Ableitfunkt.mcd
lk
rk
Wendepunkt
f´´(x) < 0
f´´(x) > 0
Terrassenpunkt
1 0 1 2 3 4 5 6
1
2
Funktion mit Terrassenpkt.
WP 1
WP 2
lk
lk = linksgekrümmt
rk = rechtsgekrümmt