Trägergraph - MatheNexus

1
Au ( ) 2 ( u)
⋅hu
( )
2 hu ( ) 2 u − ( ) ⋅ [ ]
⋅ +
⋅⎢ ⎥ 2u ⋅ ⋅ →
:=
Zielfunktion:
Bestimmung des Extremums:
−3
4 u2 ⋅ − u + 1 = 0 auflösen , u
Vergleich mit den Randwerten:
Linker Wert:
lim
+
u → −2
⎡
⎣
Au ( )
Au ( )
→ 0
:=
−1
4 u3 ⋅
→
⎛
⎜
⎜
⎝
−2
2
3
Extremwertaufgaben
Aufgabe:
Unten stehende Abbildung zeigt den Querschnitt eines "auf dem Kopf"
stehenden Schiffsrumpfes. Er soll durch ein Trapez aus Balken stabilisiert
werden. Der genannte Querschnitt wird durch den Graphen der Funktion
hx ( ) −0.25 x 2
= ⋅ + 1 mit IDh = [ − 2 ; 2 ] sehr gut beschrieben.
Berechnen Sie die Abszisse u ∈ ] − 2 ; 2 [ des Punktes P(u / h(u)) so, dass
der Flächeninhalt sein absolutes Maximum annimmt.
[ Mögliches Zwischenergebnis: Au ( )
Trägergraph:
Extremwertaufgabe Schiffsrumpf
- aus der Abschlussprüfung Nachtermin 2001 -
hx ( )
Zielfunktion Trapezfläche (mit der Achsensymmetrie folgt):
:=
1
− u
4
3 1
⋅
2 u2
= − ⋅ + u + 2 ]
−1
4 x2 ⋅ + 1
⎤
⎦
1
2 u2 − ⋅ + u + 2
⎞
⎠
Funktionswert:
⎛
⎝
A 2
⎜
3
Au( u)
⎞
⎠
⎛
⎜
⎝
⎞
⎠
−1
4 u2 ⋅ + 1
u Au
d
:= ( ) →
d
keine Lösung
64
→ = 2.37
27
+
⎛
⎜
⎝
GS - 20.05.06 - Schiffsrumpf.mcd
⎞
⎠
−1
4 u2 ⋅ + 1 2 u − ( ) ⋅
−3
4 u2 ⋅ − u + 1
2
umax :=
3
Rechter Wert:
lim
−
u → 2
Au ( )
→ 0
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⎛
⎞
Extremwertaufgaben
Der relative HP 2 64
⎜ , ist auch absoluter Hochpunkt.
⎝ 3 27 ⎠
Das Trapez nimmt seinen größten Flächeninhalt bei dem HP an.
Wähle:
u = 0.50 Au ( ) = 2.344
3
2.5
2
1.5
1
0.5
aufgeteilte Flächen
umax = 0.667
Amax = 2.37
u max
Schiffsrumpf mit Trapez
− u
u
Flächenmaßzahl
A max
0 0.5 1 1.5 2 2.5 3
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