Übung: Die Lage von zwei Ebenen zueinander - MatheNexus
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Lösungsbereich:<br />
Alle Fälle:<br />
Ebene E 1 :<br />
Berechne den Normalenvektor, falls die Parameterform vorliegt: rv1 × rv2<br />
Berechne a , falls die Koordinatenform nicht schon vorliegt: nv1 ⋅ av1 = 107 a1 = 107<br />
1<br />
Ebene E 2 :<br />
Berechne den Normalenvektor, falls die Parameterform vorliegt: rv3 × rv4<br />
Berechne a , falls die Koordinatenform nicht schon vorliegt: nv2 ⋅ av2 = −713<br />
a2 = −713<br />
2<br />
Sind die Normalenvektoren parallel ? nv1 × nv2<br />
Bei den zufällig erzeugten Zahlen handelt es sich um den Fall Textfall = "<strong>Die</strong> <strong>Ebenen</strong> schneiden sich"<br />
Gehen Sie zu fall = 1<br />
Fall 1: " <strong>Die</strong> <strong>Ebenen</strong> schneiden sich ":<br />
rv =<br />
Der Schnittwinkel der <strong>Ebenen</strong> ist gleich dem Winkel zwischen nv1 und nv2 :<br />
α :=<br />
⎛<br />
⎜<br />
⎜<br />
⎜<br />
⎝<br />
0<br />
−2<br />
5<br />
⎟<br />
⎞<br />
⎟<br />
⎟<br />
⎠<br />
nv1 ⋅ nv2<br />
nv1<br />
⋅<br />
nv2<br />
Fall 2: " <strong>Die</strong> <strong>Ebenen</strong> sind echt parallel ":<br />
Liegt der Aufpunkt <strong>von</strong> E in E ? nv1 ⋅ av2 a1<br />
2 1<br />
Abstand E 1 zu E 2 : Schneide Hilfsgerade (Aufpunkt <strong>von</strong> E 2 , Normalenvektor <strong>von</strong> E 1 ) mit E 1 :<br />
( )<br />
nv1 ⋅ av2 + δ ⋅ nv1 − a1 = 0 , vereinfachen und nach δ auflösen: δ0 = 1<br />
Schnittpunkt: fv = av2 + δ0 ⋅ nv1 fv = −27<br />
Abstandsvektor cv = av2 − fv cv =<br />
Abstand: cv = 10.488<br />
Ein Punkt, der beiden <strong>Ebenen</strong> angehört:<br />
α := acos( α)<br />
⎛<br />
⎜<br />
⎜<br />
⎜<br />
⎝<br />
π<br />
α := wenn⎜α > , π − α , α<br />
2<br />
−2<br />
23<br />
− = −110<br />
= Null ? Nein => echt parallel<br />
⎟<br />
⎞<br />
⎟<br />
⎟<br />
⎠<br />
⎛<br />
⎜<br />
⎜<br />
⎜<br />
⎝<br />
⎛<br />
⎝<br />
0<br />
= 220 = Nullvektor?<br />
−550<br />
⎟<br />
⎞<br />
⎟<br />
⎟<br />
⎠<br />
av =<br />
⎛<br />
⎜<br />
⎜<br />
⎜<br />
⎝<br />
−12<br />
−1<br />
3<br />
⎟<br />
⎞<br />
⎟<br />
⎟<br />
⎠<br />
⎞<br />
⎟<br />
⎠<br />
⎛<br />
⎜<br />
⎜<br />
⎜<br />
⎝<br />
⎛<br />
⎜<br />
⎜<br />
⎜<br />
⎝<br />
−9<br />
= −5<br />
nv1 =<br />
−2<br />
61<br />
= 95 nv2 =<br />
38<br />
⎞<br />
⎟<br />
⎟<br />
⎟<br />
⎠<br />
⎞ ⎟⎟<br />
⎟<br />
⎠<br />
Ja = E 1 || E 2<br />
Nein = sie schneiden sich<br />
=> Schnittgerade: xv = av + σ ⋅ rv<br />
α = 28.303 °<br />
⎛<br />
⎜<br />
⎜<br />
⎜<br />
⎝<br />
9<br />
5<br />
2<br />
⎛<br />
⎜<br />
⎜<br />
⎜<br />
⎝<br />
⎛<br />
⎜<br />
⎜<br />
⎜<br />
⎝<br />
⎞ ⎟⎟⎟⎠<br />
−9<br />
−5<br />
−2<br />
61<br />
95<br />
38<br />
⎞ ⎟<br />
⎟<br />
⎟<br />
⎠<br />
⎞ ⎟⎟<br />
⎟<br />
⎠