Übung: Die Lage von zwei Ebenen zueinander - MatheNexus

Aufgabe:
⎛
⎜
⎜
⎜
⎝
−9
Koordinatenform oder nv2 ⋅ xv − a2 = 0
Koordinatenform
av1 = −6
rv1 = 3 rv2 = −1
av2 = −22
rv3 = 21 rv4 =
⎛
⎜
⎜
⎜
⎝
2
−9
⎟
⎞
⎟
⎟
⎠
⎛
⎜
⎜
⎜
⎝
−1
−3
⎟
⎞
⎟
⎟
⎠
⎛
⎜
⎜
⎜
⎝
1
−2
⎟
⎞
⎟
⎟
⎠
⎛
⎜
⎜
⎜
⎝
7
25
⎟
⎞
⎟
⎟
⎠
⎛
⎜
⎜
⎜
⎝
−19
−22
nv1 = −5
a1 = 107
nv2 = 95 a2 = −713
−2
⎟
⎞
⎟
⎟
⎠
Übung: Die Lage von zwei Ebenen zueinander
Gegeben sind zwei Ebenen E 1 und E 2 . Untersuchen Sie die gegenseitige Lage zueinander.
Wenn sie sich schneiden, berechnen Sie die Schnittmenge und den Schnittwinkel.
Wenn die Ebenen echt parallel sind, berechnen Sie den Abstand.
E1 : xv = av1 + ν ⋅ rv1 + κ ⋅ rv2 Parameterform E2 : xv av2 λ ⋅ rv3 Die Lösung ist unter fall = 1 zu finden. Um eine neue Aufgabe zu erhalten, wählen Sie auf dem Menü
"Rechnen" "Arbeitsblatt berechnen".
⎛
⎜
⎜
⎜
⎝
61
38
⎟
⎞
⎟
⎟
⎠
MK 4.6.2003 EbenEben_o_mat.mcd
= + + µ ⋅ rv3 Parameterform
oder nv1 ⋅ ( xv − av)
= 0 Normalenform oder nv2 ⋅ xv − av2 = 0 Normalenform
oder nv1. ⋅ xv − a1 =
0
( )
⎟
⎞
⎟
⎟
⎠
⎛
⎜
⎜
⎜
⎝
−19
19
−17
⎟
⎞
⎟
⎟
⎠

Lösungsbereich:
Alle Fälle:
Ebene E 1 :
Berechne den Normalenvektor, falls die Parameterform vorliegt: rv1 × rv2
Berechne a , falls die Koordinatenform nicht schon vorliegt: nv1 ⋅ av1 = 107 a1 = 107
1
Ebene E 2 :
Berechne den Normalenvektor, falls die Parameterform vorliegt: rv3 × rv4
Berechne a , falls die Koordinatenform nicht schon vorliegt: nv2 ⋅ av2 = −713
a2 = −713
2
Sind die Normalenvektoren parallel ? nv1 × nv2
Bei den zufällig erzeugten Zahlen handelt es sich um den Fall Textfall = "Die Ebenen schneiden sich"
Gehen Sie zu fall = 1
Fall 1: " Die Ebenen schneiden sich ":
rv =
Der Schnittwinkel der Ebenen ist gleich dem Winkel zwischen nv1 und nv2 :
α :=
⎛
⎜
⎜
⎜
⎝
0
−2
5
⎟
⎞
⎟
⎟
⎠
nv1 ⋅ nv2
nv1
⋅
nv2
Fall 2: " Die Ebenen sind echt parallel ":
Liegt der Aufpunkt von E in E ? nv1 ⋅ av2 a1
2 1
Abstand E 1 zu E 2 : Schneide Hilfsgerade (Aufpunkt von E 2 , Normalenvektor von E 1 ) mit E 1 :
( )
nv1 ⋅ av2 + δ ⋅ nv1 − a1 = 0 , vereinfachen und nach δ auflösen: δ0 = 1
Schnittpunkt: fv = av2 + δ0 ⋅ nv1 fv = −27
Abstandsvektor cv = av2 − fv cv =
Abstand: cv = 10.488
Ein Punkt, der beiden Ebenen angehört:
α := acos( α)
⎛
⎜
⎜
⎜
⎝
π
α := wenn⎜α > , π − α , α
2
−2
23
− = −110
= Null ? Nein => echt parallel
⎟
⎞
⎟
⎟
⎠
⎛
⎜
⎜
⎜
⎝
⎛
⎝
0
= 220 = Nullvektor?
−550
⎟
⎞
⎟
⎟
⎠
av =
⎛
⎜
⎜
⎜
⎝
−12
−1
3
⎟
⎞
⎟
⎟
⎠
⎞
⎟
⎠
⎛
⎜
⎜
⎜
⎝
⎛
⎜
⎜
⎜
⎝
−9
= −5
nv1 =
−2
61
= 95 nv2 =
38
⎞
⎟
⎟
⎟
⎠
⎞ ⎟⎟
⎟
⎠
Ja = E 1 || E 2
Nein = sie schneiden sich
=> Schnittgerade: xv = av + σ ⋅ rv
α = 28.303 °
⎛
⎜
⎜
⎜
⎝
9
5
2
⎛
⎜
⎜
⎜
⎝
⎛
⎜
⎜
⎜
⎝
⎞ ⎟⎟⎟⎠
−9
−5
−2
61
95
38
⎞ ⎟
⎟
⎟
⎠
⎞ ⎟⎟
⎟
⎠

Fall 3: " Die Ebenen sind identisch ":
Liegt der Aufpunkt von E in E ? nv1 ⋅ av2 a1
2 1
− = −110
= Null ? Ja => identisch
Ebene E1 88 Ebene E2 89
Textfall =
"Die Ebenen schneiden sich"

Finde einen Punkt der beiden Ebenen angehört:
Verfahren siehe SchneideEE.mcd