Ganzrationale Funktionen (Polynomfunktionen) - MatheNexus

1. Faktorisieren
Zerlegungssatz:
faktorisiert:
Nullstellenbedingung:
f1( x)
1
2 x3 ⋅
Einfache Nullstelle
8
6
4
2
4 3 2 1 0 1 2 3 4
2
4
6
8
1
2 x3 ⋅
Ganzrationale Funktionen
Jede ganzrationale Funktion n-ten Grades mit den Nullstellen x i lässt sich mit folgendem
Funktionsterm darstellen:
2. Arten von Nullstellen
- Term x − xi Beispiel 1:
Funktionsterm:
( ) ⇒ Einfache Nullstelle: Der Graph G f schneidet die x-Achse.
- Term ( x − xi) 2 ⇒ Zweifache Nullstelle: Der Graph G berührt die x-Achse.
f
- Term ( x − xi) 3 ⇒ Dreifache Nullstelle: Der Graph G durchsetzt die x-Achse.
f
- Term ( x − xi) 4 ⇒ Vierfache Nullstelle: Der Graph G berührt die x-Achse.
f
:=
( ) ( ) ( )
f( x)
= a⋅ x − x1 ⋅ x − x2 ⋅ x − x3 ⋅.
. . ⋅ x − xn 1
2 x2 − ⋅ + 2⋅x − 2
1
2 x2 − ⋅ + 2⋅x − 2 faktor 1
,
2
( )
1
x 1
2 − ⋅( ) ⋅ x2 + 4 = 0 auflösen, x
→
⎛
⎜
⎜
⎜
⎝
( )
1
x 1
2 − → ⋅( ) ⋅ 4 + x2
GS - 24.10.05 - gara_03_ArtenNS.mcd
Ganzrationale Funktionen (Polynomfunktionen)
- Arten von Nullstellen und Faktorisieren -
( )
Sie hat höchstens n verschiedene Nullstellen.
Kommt eine dieser Nullstellen k-mal vor, so spricht man von einer k-fachen Nullstelle.
1
2⋅i −2⋅i ⎞ ⎟⎟⎟⎠
Lösung
keine Lösung
keine Lösung
Einfache Nullstelle: NS ( 1 / 0 )
gara_03.mcd 1 / 3 01.03.2006

Beispiel 2:
Funktionsterm:
faktorisiert:
Nullstellenbedingung:
Beispiel 3:
Funktionsterm:
faktorisiert:
Nullstellenbedingung:
Zweifache Nullstelle
8
4 3 2 1 0 1 2 3 4
2
Dreifache Nullstelle
8
6
4
2
2 1 0 1 2 3 4 5 6
2
4
6
8
f2( x)
f3( x)
6
4
2
4
6
8
( )
Ganzrationale Funktionen
( )
1
2 x3 x 2
:= ⋅ − − 5⋅x − 3
( )
1
2 x3 x 2
⋅ − − 5⋅x − 3 faktor 1
,
2
1
x 3
2 − ⋅( ) x 1 + ⋅( )2 = 0 auflösen, x
( )
1
2 x3 6 x 2
:= ⋅ − ⋅ + 12⋅x − 8
1
2 x3 6 x 2
⋅ − ⋅ + 12⋅x − 8 faktor 1
,
2
1
x 2
2 − ⋅( )3 = 0 auflösen, x
1
x 3
2 − ⋅( ) x 1 +
→ ⋅(
)2
Einfache Nullstelle: NS 1 ( 3 / 0 )
Zweifache Nullstelle: NS1/2 ( − 1 / 0 )
1
x 2
2 − → ⋅(
)3
→
⎛
⎜
⎜
⎜
⎝
2
2
2
⎞ ⎟⎟⎟⎠
→
⎛
⎜
⎜
⎜
⎝
3
−1
−1
⎟
⎞
⎟
⎟
⎠
Lösung
Lösung
Lösung
Lösung
Lösung
Lösung
Dreifache Nullstelle: NS 1/2/3 ( 2 / 0 )
gara_03.mcd 2 / 3 01.03.2006

Beispiel 4:
Funktionsterm: f4( x)
faktorisiert:
Nullstellenbedingung:
Ganzrationale Funktionen
( )
1
2 x4 8 x 3
− ⋅ 24 x 2
:= ⋅ + ⋅ − 32⋅x + 16
( )
1
2 x4 8 x 3
− ⋅ 24 x 2
⋅ + ⋅ − 32⋅x + 16 faktor 1
,
2
1
x 2
2 − ⋅( )4 = 0 auflösen, x
Vierfache Nullstelle
8
6
4
2
2 1 0 1 2 3 4 5 6
2
4
6
8
→
⎛
⎜
⎜
⎜
⎜
⎝
2
2
2
2
⎞
⎟
⎟
⎟
⎟
⎠
1
x 2
2 − → ⋅(
)4
Lösung
Lösung
Lösung
Lösung
Vierfache Nullstelle: NS 1/2/3/4 ( 2 / 0 )
gara_03.mcd 3 / 3 01.03.2006