Abschnittsweise definierte Funktionen - MatheNexus

Aufgabe 1:
Gegeben:
Bremsbewegung:
Bremszeit:
Gleichförmige Bew.:
Abgebremste Bew.:
vereinfacht:
vereinfacht:
Geschwindigkeit:
v1( t)
5 m
:= ⋅
s
v2( t)
s2( t)
:=
:=
Abschnittsweise definierte Funktionen
Abschnittsweise definierte Funktionen
- Aufgaben aus der Physik -
Ein Radfahrer hat zur Zeit t = 0⋅s die konstante Geschwindigkeit v0 5.0⋅m s 1 −
= ⋅ .
Nach 10⋅ s bremst er mit einer Bremsverzögerung von a −0.50⋅m s 2 −
= ⋅ ab, bis er zum
Stillstand kommt.
a) Geben Sie die Funktionsgleichung für den zurückgelegten Weg s( t)
und die
Geschwindigkeit v( t)
mit eingesetzten Zahlenwerten an.
b) Bestimmen Sie die Zeit, zu der der Radfahrer stehen bleibt und zeichnen Sie ein
s( t)
- Diagramm mithilfe einer Wertetabelle. Entnehmen Sie dem Diagramm den
Zeitpunkt, zu dem der Fahrer 65⋅ m zurückgelegt hat.
v0 5⋅m s 1 −
:= ⋅
v( t0)
:= v0 + a⋅t0 t0 := v( t0)
= 0 auflösen , t0 → 10⋅s ⎡
v2( t)
5 m 1 m
⋅
s 2
s 2
:= ⎢ − ⋅ ⋅(
t − 10⋅s) ⎣
−1
2 t
1
⋅ 10⋅m s −
+ ⋅
s2( t)
5 m
⋅ ⋅10⋅s 5
s
m
1 m
+ ⋅ ⋅(
t − 10⋅s) s
4
s 2
⋅ ( t − 10⋅s) 2
:=
− ⋅
−1
4
v( t)
5 m
:= ⋅ if 0 ≤ t ≤ 10⋅s s
⎛
⎜
⎝
m
s 2
⋅ t 2
⋅ 10 m
+ ⋅ ⋅t
− 25⋅m s
−1
2 t
m
⋅ + 10⋅ s
⎞ ⎟⎠
a :=
Physikalische Anwendung 1 / 9
if
−1
2 m
2
⋅ s −
⋅
s1( t)
5 m
:= ⋅ ⋅t
s
⎤
⎥
⎦
10⋅s < t ≤ 20⋅s GS - 20.05.06 - Radfahrer_anw_2.mcd
t0 = 10s

Weg:
Zeit:
t1 =
Anfangsbedingungen:
Zeitintervalle:
Änderungen:
Programmierung
⎛
⎜
⎝
26.325
13.675
⎞ ⎟⎠ s
Abschnittsweise definierte Funktionen
⎛
⎝
s( t)
5 m
:= ⎜ ⋅ ⋅t
s
−1
m
t1 s2( t)
= 65⋅m 4
s 2
⋅ t 2
⋅ 10 m
:=
→ + ⋅ ⋅t − 25⋅m = 65⋅m auflösen , t
s
keine Lösung
Lösung
s0 := 0⋅m t1 := 10⋅s 1 m
a2 2
s 2
:= ⋅
⎞ ⎟⎠
if
0 ≤ t ≤ 10⋅s −1
m
4
s 2
⋅ t 2
⋅ 10 m
+ ⋅ ⋅t
− 25⋅m s
Physikalische Anwendung 2 / 9
⎛
⎜
⎝
v0 5 m
:= ⋅
s
t2 := 20⋅s ⎞ ⎟⎠
if
10⋅s < t ≤ 20⋅s a1 0 m
s 2
:= ⋅
t3 := 30⋅s →
⎡
⎢
⎢
⎢
⎢
⎣
⎛
⎜
⎝
1
⎞ ⎟⎠
2
2⋅ 10 + 10 ⋅s
⎛
⎜
⎝
1
⎞ ⎟⎠
2
2⋅ 10 − 10 ⋅s
⎤
⎥
⎥
⎥
⎥
⎦

Beschleunigung
Geschwindigkeit
Ort
1
0.5
0.5
1
10
7.5
5
2.5
100
90
80
70
60
50
40
30
20
10
Abschnittsweise definierte Funktionen
t 1
a(t) - Diagramm
0 2 4 6 8 10 12 14 16 18 20 22 24 26 28 30
t 1
Zeit
v(t) - Diagramm
0 2 4 6 8 10 12 14 16 18 20 22 24 26 28 30
t 1
Zeit
s(t) - Diagramm
0 2 4 6 8 10 12 14 16 18 20 22 24 26 28 30
a3 0 m
s 2
≡ ⋅ a3 = 1 schöne Kurve a3 aktivieren
Physikalische Anwendung 3 / 9
Zeit
t 2
t 2
t 2

Aufgabe 2:
Abschnittsweise definierte Funktionen
Die folgende abschnittsweise definierte Funktion s(t) beschreibt die Bewegung eines
Motorradfahrers, nämlich den zurückgelegten Weg s in Abhängigkeit von der Zeit t:
⎛
s( t)
30 m 1
⋅ ⋅t
s 2 3.0 ⋅
m
s 2
⋅ t 2
:= ⎜ − ⋅
⎝
⎡
⎢
⎣
⎞
⎟
⎠
112.5⋅m 15 m
+ ⋅ ⋅(
t − 5.0⋅s) s
if
0⋅s ≤ t ≤ 5.0⋅s ⎤
⎥
⎦
if
t > 5.0⋅s a) Zeichnen Sie den Graphen mithilfe einer Wertetabelle.
b) Beschreiben Sie mit eigenen Worten den Bewegungsablauf.
c) Bestimmen Sie die Funktionsterme für die Geschwindigkeit v und die Beschleunigung
a in Abhängigkeit von der Zeit und zeichnen Sie diese unter das s(t) - Diagramm.
Teilaufgabe a) Wertetabelle =
Weg s in m
200
180
160
140
120
100
80
60
40
20
Teilaufgabe b)
⎛
⎜
⎝
"Zeit t in s"
"Weg s in m"
s(t) - Diagramm
5⋅ s
0.0
0.0
1.0
28.5
2.0
54.0
3.0
76.5
0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12
Zeit t in s
10⋅s 4.0
96.0
5.0
112.5
10.0
187.5
1. Phase: 0⋅s ≤ t ≤ 5⋅s Abgebremste Bewegung mit der Anfangsgeschwindigkeit 30 m
⋅
s
und der Endgeschwindigkeit 15 m
⋅ .
s
2. Phase: t > 5⋅s Gleichförmige Bewegung mit 15 m
⋅ .
s
Physikalische Anwendung 4 / 9
⎞ ⎟⎠

Teilaufgabe c)
v( t)
a( t)
d
= s( t)
v( t)
30
dt
m
⋅ 3.0
s
m
s 2
:= ⎜ − ⋅ ⋅t
⎛
⎝
⎛
⎜
⎝
Abschnittsweise definierte Funktionen
15 m
⋅
s
d
m
= v( t)
a0( t)
−3.0
dt
s 2
:= ⎜ ⋅
Geschwindigkeit v in m/s
Beschleunigung a
40
30
20
10
4
2
2
4
⎛
⎝
⎞
⎟
⎠
if
⎞
⎟
⎠
⎞ ⎟⎠
t > 5.0⋅s if
0 if t > 5.0⋅s if
0⋅s ≤ t ≤ 5⋅s 0⋅s ≤ t ≤ 5⋅s v(t) - Diagramm
5⋅ s
0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12
Zeit t in s
a(t) - Diagramm
5⋅ s
10⋅s 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12
Zeit t in s
Physikalische Anwendung 5 / 9
10⋅s

Aufgabe 3:
v( t)
1.0 m
s 2
:= ⎜ ⋅ ⋅t
1. Phase:
2. Phase:
3. Phase:
⎛
⎝
⎛
⎜
⎝
⎛
⎜
⎝
10 m
⋅
s
⎞
⎟
⎠
⎞ ⎟⎠
if
s1( t)
if
m
−2.0
s 2
⋅ ⋅t 50 m
+ ⋅
s
1
2 1
m
⋅
s 2
⋅ t 2
:= ⋅
Abschnittsweise definierte Funktionen
Gegeben ist folgendes Geschwindigkeitsdiagramm eines Bewegungsablaufes:
Geschwindiglkeit v in m/s
12
10
Steigung der 1. Phase:
Steigung der 3. Phase:
8
6
4
2
Teilaufgabe a) und b)
0⋅s ≤ t ≤ 10⋅s 10⋅s < t ≤ 20⋅s ⎞
⎟
⎠
∆v 10 m
:= ⋅
s
∆v 0 m
⋅ 10
s
m
:= − ⋅
s
s2( t)
50⋅m 10 m
:= + ⋅ ⋅(
t − 10⋅s) s
if
⎡
⎣
v(t) - Diagramm
10⋅s 20⋅s 0 2 4 6 8 10 12 14 16 18 20 22 24 26 28 30
Zeit t in s
a ) Geben Sie eine funktionale Beschreibung der Geschwindigkeit v(t), des Weges s(t) und
der Beschleunigung a(t) an.
b) Zeichnen Sie die Diagramme für s(t) und a(t).
20⋅s < t ≤ 25⋅s s1 := s1( 10⋅s) s3( t)
150⋅m 10 m
:= + ⎢ ⋅ ⋅(
t − 20⋅s) s
Physikalische Anwendung 6 / 9
⎤
⎥
⎦
∆t := 10⋅s ∆t := 5⋅s s2 := s2( 20⋅s) ⎛
⎝
⎞
1
−2 2
m
s 2
⋅⎜ ⋅ ⎟ ( t − 20⋅s) 2
+
⋅
⎠
∆v
a1 :=
∆t
∆v
a3 :=
∆t
s1 = 50m
s2 = 150 m
a1 1 m
s 2
=
a 3
−2 m
s 2
=

Abschnittsweise definierte Funktionen
Vereinfachen und als abschnittsweise Funktion definieren:
s( t)
Weg s in m
:=
⎛
⎜
⎝
⎛
⎜
⎝
⎛
⎜
⎝
200
180
160
140
120
100
80
60
40
20
⎛
1 m
2
s 2
⋅ t 2
⋅
a( t)
1 m
s 2
:= ⎜ ⋅
Beschleunigung a
⎝
⎞ ⎟⎠
if
10 m
⋅ ⋅t − 50⋅m s
0⋅s ≤ t ≤ 10⋅s ⎞
⎟
⎠
if
10⋅s < t ≤ 20⋅s −1 m
s 2
⋅ t 2
⋅ 50 m
+ ⋅ ⋅t
− 450⋅m s
⎞ ⎟⎠
if
20⋅s < t ≤ 25⋅s s(t) - Diagramm
10⋅s 20⋅s 0 2 4 6 8 10 12 14 16 18 20 22 24 26 28 30
⎞
⎟
⎠
if
0⋅s ≤ t ≤ 10⋅s 0 m
s 2
⋅ if 10⋅s < t ≤ 20⋅s ⎛
⎜
⎝
−2 m
s 2
⋅
3
2
1
1
2
3
⎞ ⎟⎠
if
20⋅s < t ≤ 25⋅s Zeit t in s
a(t) - Diagramm
10⋅s 20⋅s 0 2 4 6 8 10 12 14 16 18 20 22 24 26 28 30
Zeit t in s
Physikalische Anwendung 7 / 9

Aufgabe 4:
Aus ( 1)
x ( t)
2 m
:= ⋅ ⋅t
s
s1 := x( 10⋅s) → 20⋅m x
t =
v0 Abschnittsweise definierte Funktionen
Bei gegebener Bewegung in vorheriger Aufgabe handelt es sich um eine Flussüberquerung.
Der Fluss ist 175⋅ m breit und hat eine Strömungsgeschwindigkeit v0 2.0 m
= ⋅ .
s
a) Beschreiben Sie den Bewegungsablauf mit Worten.
b) Bestimmen Sie die Bahnkurve y(x) als abschnittsweise definierten Funktionsterm und
zeichnen Sie das y(x) - Diagramm.
Teilaufgabe a)
Das Boot bewegt sich quer zum Fluss 10 s mit der konstanten Beschleunigung
a1 1.0 m
s 2
= ⋅ , fährt dann nochmals 10s mit der konstanten Geschwindigkeit v2 10 m
= ⋅ weiter
s
m
und stoppt dann mit der Bremsverzögerung a3 −2.0
s 2
= ⋅ .
Der Fluss strömt mit der konstanten Geschwindkeit v0 2 m
= ⋅ .
s
Der gesamte Bewegungsablauf ist eine überlagerte Bewegung.
Teilaufgabe b)
x - Komponente:
( 1)
y - Komponente:
( 2)
y( t)
Aus der Parameterdarstellung für die Bahnkurve den Parameter t eliminieren.
t =
Einsetzen in ( 2)
und Zeitabschnitte umrechnen:
Abschnitte = zurückgelegter Weg in den einzelnen Phasen.
:=
x
⎛
⎜
⎝
⎛
⎜
⎝
⎛
⎜
⎝
2.0 m
⋅
s
1 m
2
s 2
⋅ t 2
⋅
s2 := x( 20⋅s) → 40⋅m Physikalische Anwendung 8 / 9
⎞ ⎟⎠
if
10 m
⋅ ⋅t − 50⋅m s
0⋅s ≤ t ≤ 10⋅s ⎞
⎟
⎠
if
10⋅s < t ≤ 20⋅s −1 m
s 2
⋅ t 2
⋅ 50 m
+ ⋅ ⋅t
− 450⋅m s
⎞ ⎟⎠
if
20⋅s < t ≤ 25⋅s s3 := x( 25⋅s) → 50⋅m

Bahnkurve: y( x)
y - Komponente in m
200
180
160
140
120
100
80
60
40
20
:=
⎛
⎜
⎝
Abschnittsweise definierte Funktionen
1
8⋅m x 2
⋅
⎞
⎟
⎠
if
0⋅m ≤ x ≤ 20⋅m ( 5⋅x − 50⋅m) if 20⋅m < x ≤ 40⋅m ⎛
⎜
⎝
1
− x
4⋅m 2
⋅ + 25⋅x − 450⋅m ⎞ ⎟⎠
if
Bahnkurve y(x)
40⋅m < x ≤ 50⋅m 0 5 10 15 20 25 30 35 40 45 50 55 60
Physikalische Anwendung 9 / 9
s 1
x - Komponente in m
s 2