8 - MatheNexus

1. Einführung in die Problematik:
2. Lösungsschema:
3. Grundaufgabe 3:
Eine rechteckige Glasplatte mit den Seiten 3 LE und 6 LE ist längs eines Parabelstücks
p( x)
x 2 8
= + zerbrochen.
3
Aus dem Reststück soll eine rechteckige Scheibe so herausgeschnitten werden, sodass
diese maximalen Flächeninhalt hat.
Begründen Sie die Definitionsmenge mit ID = [ 0 /
g
Rechteckige Glasplatte:
Rand des Bruchstückes:
Maximale Kantenlänge:
Definitionsmenge:
Zielfunktion Rechtecksfläche:
Ausmultiplizieren:
Flächenmaßzahlfunktion:
Länge: l := 3
p( x)
x 2 8
:= +
3
x 2 8
+ = 6 auflösen , x
3
ID = { x I 0 ≤ x
A( a)
( 3 − a)
⋅p( a)
( 3 − a)
a 2 8
:=
→ ⋅⎜
+
3
⎛
⎝
10
≤ }
3
⎞
⎠
10
3 ]
Wie sind die Seitenkanten des neuen Reststückes zu wählen?
( 3 − a)
a 2 8
⋅⎜ + ⎟ 3 a
3
2
=
GS - 13.03.06 - AnwendganzratFkt_Glasscheibe.mcd
Einführung in die Extremwertaufgaben - Glasscheibe
- Maximale Fläche mit Randextremum -
Es gibt Anwendungsaufgaben aus der Analysis, die man unter dem Extremwertaufgaben zusammenfasst.
Dabei werden Maße von geometrischen Figuren verändert und dann die extremale Bedingung
dazu gesucht.
(1) Aufstellen einer Gleichung mit Variablen für die Größe, die extremal werden soll.
(2) Formulierung von Nebenbedingungen, d.h. Gleichungen, die berücksichtigt werden sollen.
(3) Bestimmung der Zielfunktion, deren Extremwerte zu berechnen sind, durch Kombination der
Gleichungen der ersten beiden Schritte.
(4) Eine sinnvolle Definitionsmenge für die unabhängige Variablen bestimmen.
(5) Bestimmung der absoluten Extremwerte der Zielfunktion: Bildung der Ableitung und Bestimmung
der relativen Extrema und Vergleich mit den Randwerten.
Höhe: h := 6
→
⋅ 8 a 3
− +
A( a)
3 a 2
⋅ + 8 a 3 8
−
3 a ⋅ −
:=
1 / 2
⎛
⎜
⎜
⎜
⎜
⎜
⎜
⎝
1
3 30
1
2
⋅
−1
3 30
1
2
⋅
⎛
⎝
⎞
⎟
⎟
⎟
⎟
⎟
⎟
⎠
⎞
⎟
⎠
8
3 a ⋅ −
1
3 30
1
2
⋅ =
nicht sinnvoll
30
=
9
10
3

Animation
Abhängigkeit der Rechteckfläche
Bestimmung der Maße des größten Flächeninhalts:
d
1. Ableitung: Aa( a)
:= A( a)
da
2. Ableitung: Aaa( a)
xRand1 := 0 A( xRand1) = 8 ⇒ absolutes Maximum
10
xRand2 := A xRand2 3
( ) = 7.046
( ) → 8
Das absolute Maximum wird also auf dem Rand angenommen: Amax := A xRand1
Seitenkante 1: 3 LE, Seitenkante 2: p( 0)
= 2.667 LE
Einstellung k = 5 k ≡ 0 Bei Animation k=0 setzen! FRAME von 0 bis 20
Darstellung des Rechtecks
6
5
4
3
2
1
1 0 1 2 3 4
1
10
3
x wandert
:=
2
d
A( a)
2
da
Maßzahl der Fläche
6⋅a 3 a 2 8
→ − ⋅ −
3
→
6 − 6⋅a Horizontale Tangenten: 6⋅a 3 a 2 8
− ⋅ − = 0 auflösen , a
3
Art des Extremums: A aa
A aa
⎛
⎜
⎝
⎛
⎜
⎝
2
3
4
3
⎞ ⎟⎠
⎞ ⎟⎠
→ 2 rel.Minimum
10
9
8
7
6
5
4
3
2
1
→
→ −2
rel. Maximum
4
Relatives Maximum: amax := A amax 3
Vergleich mit den Randwerten:
2 / 2
⎛
⎜
⎜
⎜
⎜
⎝
( ) = 7.407
2
3
4
3
⎞ ⎟
⎟
⎟
⎟
⎠
=
⎛
⎜
⎝
0.667
1.333
Zielfunktion Fläche
10
1 0.5 0 0.5 1 1.5 2 2.5 3 3.5 4
3
variables x
⎞
⎟
⎠
10
= 1.83
3
a = 0.00
A( a)
= 8