Höhere Ableitungen - Flachpunkte - - MatheNexus

Funktion f 1 mit geradem Exponenten:
f1( x)
x n
x 4
:= →
1. Ableitung:
d
f´ 1( x)
:= f1( x)
dx
2. Ableitung:
f´´ 1( x)
:=
→
2
d
f
2 1( x)
dx
4 x 3
⋅
→
Bedingung für Flachpunkt:
12 x 2
⋅
xF1 12 x 2
:= ⋅ = 0 auflösen , x
→
⎛
⎜
⎝
zweifache Nullstelle, also ändert sich
das Krümmungsverhalten nicht
Höhere Ableitungen
- Flachpunkte -
Definition:
Unter dem Flachpunkt einer einer Funktion versteht man den Kurvenpunkt (x 0 /f(x 0 )) mit der Bedingung
f´´(x 0 ) = 0. Diese Nullstelle der 2. Ableitung darf auch eine mehrfache Nullstelle sein.
Flachpunkte können Extrempunkte oder Wendepunkte (auch Terassenpunkte) sein.
Beispiel 1: Gegeben sind die Potenzfunktionen f 1 und f 2 mit ihren Ableitungen.
0
0
⎞ ⎟⎠
n := 4
f2( x)
x m
x 5
:= →
1. Ableitung:
d
f´ 2( x)
:= f2( x)
dx
2. Ableitung:
f´´ 2( x)
2
d
f
2 2( x)
dx
Bedingung für Flachpunkt:
20 x 3
⋅
xF1 20 x 3
:= ⋅ = 0 auflösen , x
dreifache Nullstelle, also ändert sich
das Krümmungsverhalten.
Anschaulich bedeutet das eine Tangente mit mindestens dreifacher Berührungsstelle.
Funktionen, deren 2. Ableitung an einer Stelle x 0 = 0 ist, verlaufen dort fast geradlinig, also flach.
:=
GS - 24.08.04 - abl_09_Flachpunkte.mcd
Es gibt Funktionen, deren zweite Ableitung mehrfache Nullstellen hat, das heißt auch die weiteren
Ableitungen haben Nullstellen. Die Auswirkungen auf den Graphen socher Funktionen sollen im
Folgenden untersucht werden.
Funktion f 2 mit ungeradem Exponenten:
→
5 x 4
⋅
→
→
⎛
⎜
⎜
⎜
⎝
0
0
0
⎞ ⎟⎟
⎟
⎠
m := 5

Funktionsterm:
1. Ableitung:
2. Ableitung:
3. Ableitung:
einfache Nullstelle:
Art des Flachpunktes:
Funktion 4. Grades
2
Der Flachpunkt ist eine vierfache Nullstelle,
die hier auch ein absolutes Minimum ist.
Nullstellen der 2. Ableitung:
1
2 1 0 1 2
1
2
Funktion
Flachpunkt
Beispiel 2: Gegeben ist die Funktion f mit ihren Ableitungen.
f( x)
fx( x)
fxxx( x)
5
122 x3 ⋅
x1 :=
f xxx
f
⎛
⎜
⎝
⎛
⎜
⎝
−13
2
:=
fxx( x)
:=
−13
2
−13
⎞
⎟
⎠
2
5
488 x4 ⋅
:=
+
5
122 x3 ⋅
105
244 x2 ⋅
⎞
⎟
⎠
15
122 x2 ⋅
= 0.83
= 6.472
( )
1
2⋅x5 35 x
976 4
+ ⋅ 200 x 3
+ ⋅ 520 x 2
:= ⋅
+ ⋅
+
+
35
244 x3 ⋅
+
+
105
244 x2 ⋅
105
122 x ⋅
75
61 x ⋅
+
+
75
122 x2 ⋅
+
75
61 x ⋅
75
61
+
+
65
+ = 0 auflösen , x
61
ungleich Null, also Wendepunkt
WP( − 6.5 / 6.5)
Funktion 5. Grades
2
2 1 0 1 2
Der Flachpunkt ist eine fünffache Nullstelle,
hier ein Wendpunkt mit horizontaler Tangente,
also auch ein Terrassenpunkt.
65
61 x ⋅
65
61
1
1
2
Funktion
Flachpunkt
→
⎛
⎜
⎜
⎜
⎜
⎝
−13
2
−2
−2
⎞
⎟
⎟
⎟
⎟
⎠

doppelte Nullstelle:
Art des Flachpunktes:
Tangente im Wendepunkt:
Tangente im Flachpunkt:
Tangente im Wendepunkt
12
− 6.5
10
12 10 8 6 4 2 0 2 4
Funktion
2. Ableitung
Tangente
Wendepunkt
x2 :=
tWP( x)
:= fx durchsetzt den Grafen, Krümmung ändert sich
tFP( x)
:= fx( −2)
⋅( x + 2)
+ f( −2)
berührt den Grafen, Krümmung ändert sich nicht
8
6
4
2
2
4
−2
fxxx( −2)
= 0
f( −2)
= 1
⎡
⎢
⎣
⎡⎣
⎛
⎜
⎝
⎞ ⎛
gleich Null, also Flachpunkt
FP( − 2 / 1)
⎞
−13
⎟
2 ⎠ x
13
⋅⎜ + ⎟ + f
⎝ 2 ⎠
⎤ ⎦
⎛
⎜
⎝
→
−13
2
⎞⎤
⎟⎥⎦
⎠
→
−40
61 x ⋅
19
−
61
Tangente im Flachpunkt
12
− 2
10
12 10 8 6 4 2 0 2 4
Funktion
2. Ableitung
Tangente
Flachpunkt
−16055
7808 x ⋅
8
6
4
2
2
4
107653
−
15616

Wähle: c := 350 z. B.: c = 0, 174, 350, 800, 1000
AllgemeineTangente: t x , x0 x 0
= −6.5
Kurvenpunkt =
"Wendepunkt"
Animation: c = 0 und FRAME von 0 bis 1200
( ) := fx( x0) ( x − x0) ⎡⎣
( )
⋅ + f x0 "Kurvenfahrt" der Tangente
− 6.5
− 2
12 10 8 6 4 2 0 2 4
⎤ ⎦
12
10
8
6
4
2
2
4