3.1. Geraden im Raum: - MatheNexus

3.1. Geraden im Raum:
Christoph Knollhuber 24.4.2004 geraden.mcd
Erklärung: Unter einer Geraden im Raum versteht man eine Menge von
Punkten.
Darstellungsformen:
1. Punkt-Richtungs-Form:
x = ap + λ⋅rv 2. Zwei-Punkte-Form:
rv =
ap2 − ap1
x Ortsvektor des Geradenpunktes
ap Aufpunktvektor zu dem Punkt,
an dem rv ansetzt
λ rationale Zahl zum bilden einer
S-Multiplikation mit rv
rv Richtungsvektor, der die Richtung
der Gerade im Raum genau festlegt
Der Rest genau wie Punkt-Richtungs-Form (siehe 1)
Wobei als Aufpunkt sowohl ap2 als auch ap1
verwendet werden kann. (Es ändert sich dabei
lediglich λ um die Koordinaten eines Punktes auf der
Geraden genau bestimmen zu können.)

Abstand Punkt - Gerade:
p = g + c
c = p − g
( )
c = p − ap + λ⋅rv c⋅rv = 0
Abstand = c
p = Ortsvektor Punkt
g = Universaler Punkt auf Gerade
c = kürzester Verbindungsvektor
λ berechnen und in voriger Gleichung einsetzen
um c zu berechnen
Abstand zweier windschiefer Geraden analog:
für p wird die zweite Geradengleichung eingesetzt und c muss auf beiden
Richtungsvektoren senkrecht stehen
c⋅rv1 = 0 ∧ c⋅rv2 = 0
Rest analog zu Abstand Punkt-Gerade