Abschnittsweise definierte Funktionen - MatheNexus

Aufgabe 1:
Teilaufgabe a)
1. Parabel:
2. Parabel:
Gemeinsamer Punkt:
Einsetzen:
Funktionsterm:
Teilaufgabe b)
Ableitung:
f( x)
:=
fx( x)
Abschnittsweise definierte Funktionsterme
Abschnittsweise definierte Funktionen
- Aufgaben mit Anwendungsbezug -
Ein Skihang soll durch zwei quadratische Funktionen beschrieben werden:
Der Scheitel der nach unten geöffneten Parabel liegt bei (0 m ; 40 m), der Scheitel der nach
oben geöffneten Parabel liegt bei (100 m ; 0 m). Außerdem soll der Punkt (40 m ; 24 m) auf
beiden Parabeln liegen und die beiden Abschnitte trennen.
a) Geben Sie die Form des Hanges als abschnittsweise definierte Funktion an.
b) Bestimmen Sie die Tangente an beide Parabeln an der Übergangsstelle und den
Neigungswinkel des Hanges gegenüber der Meereshöhe.
c) Die prozentuale Steigung ist definiert als Höhenzunahme pro Längenzunahme.
12 % Steigung entspricht einer Höhenzunahme von 120 m pro 1000 m.
Das prozentuale Gefälle ist definiert als Höhenabnahme pro Längenzunahme.
10 % Gefälle entspricht einer Höhenabnahme von 100 m pro 1000 m.
Berechnen Sie das Gefälle des Skihanges.
p1( x , a)
a x 2
:= ⋅ + 40
p2( x , b)
b ( x − 100)
2
:= ⋅
P( 40, 24)
p1( 40, a)
= 24 → 1600⋅a + 40 = 24 auflösen , a
p2( 40, b)
= 24 → 3600⋅b = 24 auflösen , b
:=
⎛
⎜
⎝
⎡
⎢
⎣
1
− x
100
2
⋅ + 40
⎛
⎜
⎝
⎡
⎢
⎣
1
− ⋅x
50
⎞
⎟
⎠
if
1
x 100
75 − ( ) ⋅
⎞ ⎟⎠
1
x 100
150 − ⋅(
)2
0 ≤ x ≤ 40
⎤ ⎥⎦
⎤
⎥
⎦
if
if
if
0 ≤ x ≤ 40
40 < x ≤ 100
40 < x ≤ 100
GS - 20.05.06 - Skihang_anw_1.mcd
→
→
1
150
−1
100
1 / 5 23.05.2006

Überprüfung der "Grenzwerte":
Steigung an der Übergangsstelle:
Tangente:
Neigungswinkel:
Darstellung
60
50
40
30
20
10
Teilaufgabe c)
Größte Steigung des Hanges hat die Tangente:
Höhenzunahme:
Längenzunahme:
tan( α)
= m
Abschnittsweise definierte Funktionsterme
1
− ⋅40 = −0.8
50
Die Funktion ist differenzierbar an der Nahtstelle x := 40 , da ein Skihang "glatt" ist.
m := fx( 40)
t( x)
[ m⋅( x − 40)
+ 24]
→
:=
40
∆y := t( 0)
→ 56
∆x := t( x)
= 0 auflösen , x → 70
∆y 4
Gefälle := →
∆x 5
−4
5 x ⋅ 56 +
α := atan( m)
oder:
m = −0.8
α
1
40 100
75 − ⋅( ) 0.8 − =
α = 38.66Grad
0 10 20 30 40 50 60 70 80 90 100 110
Gefälle = 0.8 entspricht 80 %
2 / 5 23.05.2006

Aufgabe 2:
Teilfunktionen:
P ∈ G h :
Q ∈ G h :
Nahtstelle x0 := 20 :
Gleichungssystem:
Nahtstelle x1 := 60 :
R ∈ G h :
Abschnittsweise definierte Funktionsterme
Der Querschnitt einer Skiflugschanze lässt sich durch abschnittsweise definierte Funktionen
bestimmen (die Maßeinheiten werden weggelassen):
( ) if 0 x
h( x)
a x 2
= ⋅ + 50
≤ ≤ 20
( b⋅x + c)
if 20 < x ≤ 60
d( x − 70)
2
( + k)
if 60 < x ≤ 65
Die Punkte P( 20, 42)
und Q( 60, 10)
liegen auf der Schanze, der Absprung vom
Schanzenzentisch in einer Höhe von 7 m entspricht dem Punkt R( 65, 7).
a) Bestimmen Sie alle Koeffizienten so, dass keine Sprünge im Anlauf auftreten.
b) Welche Neigung hat das gerade Stück im Anlauf?
c) Berechnen Sie mithilfe der Steigung der Tangente den Absprungswinkel im
Absprungspunkt.
h1( x , a)
a x 2
:= ⋅ + 50
h2( x , b , c)
:= ( b⋅x + c)
h3( x , d , k)
d( x − 70)
2
:=
+ k
h1( 20, a)
= 42 → 400⋅a + 50 = 42
h2( 60, b , c)
= 10 → 60⋅b + c = 10
h1( 20, a)
= h2( 20, b , c)
→ 400⋅a + 50 = 20⋅b + c
Vorgabe
Suchen( a , b , c)
→
−1
a :=
50
400⋅a + 50 = 42
60⋅b + c = 10
400⋅a + 50 = 20⋅b + c
⎛
⎜
⎜
⎜
⎜
⎜
⎝
−1
50
−4
b :=
−4
h2( 60, b , c)
= h3( 60, d , k)
10 d( −10)
2
→ = + k
h3( 65, d , k)
= 7 d( −5)
2
→ + k = 7
5
58
⎞
⎟
⎟
⎟
⎟
⎟
⎠
5
c := 58
3 / 5 23.05.2006

Gleichungssystem:
Schanzenquerschnitt: h( x)
:=
Darstellung
60
50
40
30
20
10
Vorgabe
Konkrete Funktionsterme:
Abschnittsweise definierte Funktionsterme
10 d( −10)
2
= + k
Vereinfacht:
10 = 100⋅d + k
Suchen( d , k)
1
d :=
25
h1( x , a)
h2( x , b , c)
→
h3( x , d , k)
1/25( x − 70)
2
→
+ 6
⎡
⎢
⎢
⎢
⎢
⎢
⎢
⎢
⎣
→
⎛
⎜
⎝
⎛
⎜
⎝
⎡
⎢
⎣
→
−1
50 x2
20 60
h2( 20, b , c)
= 42
⎛
⎜
⎜
⎝
1
25
6
k := 6
−1
50 x2 ⋅ + 50
−4
5 x ⋅ 58 +
⋅ + 50
−4
5 x ⋅ 58 +
⎞
⎟
⎠
h2( 60, b , c)
= 10
0 10 20 30 40 50 60 70 80 90
⎞ ⎟
⎟
⎠
⎞
⎟
⎠
if
if
1
x 70
25 − ⋅( )2 + 6
d( −5)
2
+ k = 7
25⋅d + k = 7
0 ≤ x ≤ 20
20 < x ≤ 60
⎤ ⎥⎦
if
60 < x ≤ 65
4 / 5 23.05.2006
⎤ ⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎦

Teilaufgabe b)
Neigung des geraden Stückes:
Teilaufgabe c)
Absprungsfunktion:
Ableitung:
Steigung im Absprungpunkt:
Absprungwinkel:
Abschnittsweise definierte Funktionsterme
∆x := 40
∆y
Neigung :=
∆x
h3( x)
h3x( x)
1
x 70
25 − := ⋅( )2 + 6
x h3 x
d
:= ( ) →
d
h3x( 65)
= −0.4
( )
α := atan h3x( 65)
∆y := h2( 20, b , c)
− h2( 60, b , c)
→ 32
Neigung = 0.8
2
25 x ⋅
28
−
5
α = 21.801 Grad
5 / 5 23.05.2006