Übungen Lineare Abhängigkeit - MatheNexus

Aufgaben:
Sind die folgenden Vektoren jeweils linear abhängig?
(3)
(5)
a :=
(7) Liegt der Vektor c in der durch a und b bestimmten Ebene?
a :=
(8) Für welche Werte von k sind die Vektoren a, b, c linear abhängig ?
a :=
⎛
⎜
⎝
e :=
⎛
⎜
⎜
⎜
⎝
⎛
⎜
⎜
⎜
⎝
2
4
⎛
⎜
⎜
⎜
⎝
−2
−2
1
2
−1
1
⎞ ⎟⎠
3
−2
1
⎟
⎞
⎟
⎟
⎠
⎟
⎞
⎟
⎟
⎠
⎟
⎞
⎟
⎟
⎠
b :=
⎛
⎜
⎝
f :=
b :=
b :=
−5
2
⎛
⎜
⎜
⎜
⎝
⎛
⎜
⎜
⎜
⎝
⎛
⎜
⎜
⎜
⎝
⎞
⎟
⎠
−2
2
−3
−2
3
2
0
−3
−1
⎟
⎞
⎟
⎟
⎠
⎟
⎞
⎟
⎟
⎠
⎟
⎞
⎟
⎟
⎠
Übungen Lineare Abhängigkeit
(2) Ein Dreieck ist durch AB = a und AC = b festgelegt. Außerdem gilt BD 1
4 a
1
= und CE
2 BC = . In welchen
Verhältnissen teilen sich die Strecken D-Seitenmitte AC und E-Seitenmitte AB ?
g :=
c :=
c( k)
⎛
⎜
⎜
⎜
⎝
⎛
⎜
⎜
⎜
⎝
−10
:=
−1
−2
2
7
−7
⎛
⎜
⎜
⎜
⎝
⎟
⎞
⎟
⎟
⎠
⎟
⎞
⎟
⎟
⎠
2
1
k
⎞ ⎟⎟⎟⎠
(4)
(6)
c :=
MK 4.6.2003 LineareAbhaengigkeit_Ueb.mcd
(1) Gegeben sind drei linear unabhängige Vektoren a, b, c. Zeigen Sie dass die drei Vektoren d, e, f linear
abhängig sind:
d = 2 ⋅ a − 3 ⋅ b + c e = a + 2 ⋅ b − 3 ⋅ c f = −3 ⋅ a + b + 2 ⋅ c
⎛
⎜
⎝
h :=
2
−6
⎛
⎜
⎜
⎜
⎝
⎞
⎟
⎠
4
−2
3
⎟
⎞
⎟
⎟
⎠
d :=
⎛
⎜
⎝
−1
3
i :=
⎞
⎟
⎠
⎛
⎜
⎜
⎜
⎝
2
1
−1
⎟
⎞
⎟
⎟
⎠
j :=
⎛
⎜
⎜
⎜
⎝
−2
−2
5
⎟
⎞
⎟
⎟
⎠

Lösungen:
(1) Gegeben sind drei linear unabhängige Vektoren a, b, c. Zeigen Sie dass die drei Vektoren d, e, f linear
abhängig sind:
d = 2 ⋅ a − 3 ⋅ b + c e = a + 2 ⋅ b − 3 ⋅ c f = −3 ⋅ a + b + 2 ⋅ c
d = 2 ⋅ a − 3 ⋅ b + c
e = a + 2 ⋅ b − 3 ⋅ c
f = −3 ⋅ a + b + 2 ⋅ c
-------------------------------
d + e + f = 0 ⋅ a + 0 ⋅ b + 0 ⋅ c = 0 ⇒ d, e, f linear abhängig
(2) Ein Dreieck ist durch AB = a und AC = b festgelegt. Außerdem gilt BD 1
4 a
1
= und CE
2 BC = . In welchen
Verhältnissen teilen sich die Strecken D-Seitenmitte AC und E-Seitenmitte AB ?
1
1
0 b − λ ⋅ DMb + µ ⋅ EMa
2 2 a −
=
⎛
⎝
1 5 1
⇒ 0 b λ − ⋅ a
2 4 2 b ⋅ +
− ⋅ ⎜
⎟ µ a − + ⋅ ⎜
=
0 =
0 =
⎞
⎠
⎛
⎝
⎞ ⎟⎠
3
2 b ⋅
1
2 a −
1
2 b ⋅
5
4 λ
1
⋅ ⋅ a
2 λ
3
+ − ⋅ ⋅ b µ ⋅ a
2 µ
1
− ⋅ ⋅ b
2 a ⋅ −
+
⎛
⎜
⎝
linear unabhängig ⇒ 5
4 λ ⋅ + µ
3/2*I+II: 3
⋅
2
LineareAbhaengigkeit_Ueb.gxt
1
0 a
4 a + DMb +
1
2 b −
5
= ⇒ DMb − ⋅ a
4
+ =
0 = a + BC − b ⇒ BC = b − a
5
4 λ
1⎞
⋅ + µ − ⎟⎠ ⋅ a
2
⎛
⎜
⎝
1
− = 0
2
5
4 λ
1
⋅ + µ −
2
11 1
⋅ λ − = 0
8 4
+
⎞ ⎟⎠
⎛
⎜
⎝
2
λ = Verhältnis
11
3
aus I: µ = Verhältnis
11
+
1
2
1
2
1
2 λ − ⋅
1
2
1
2 λ − ⋅
1
2 λ − ⋅
2
11 :
3
11 :
⎞
3
2 µ − ⋅ ⎟
⎠ b ⋅
3
2 µ − ⋅ = 0
3
2 µ − ⋅ = 0
9
11
8
11
1
2 b ⋅
1
0 a b a
2 − ( ) +
1
3
= + ⋅ ( b − a)
+ EMa ⇒ EMa a
2
2 b ⋅ − =

Sind die folgenden Vektoren jeweils linear abhängig?
(3)
(4)
(5)
(6)
a :=
c :=
h = λ ⋅ i + µ ⋅ j →
(7) Liegt der Vektor c in der durch a und b bestimmten Ebene?
a :=
⎛
⎜
⎜
⎜
⎝
−2
−2
1
⎟
⎞
⎟
⎟
⎠
b :=
c = λ ⋅ a + µ ⋅ b →
a :=
⎛
⎜
⎝
⎛
⎜
⎝
e :=
⎛
⎜
⎜
⎜
⎝
2
4
2
⎛
⎜
⎜
⎜
⎝
2
−1
1
⎞ ⎟⎠
−6
⎞
⎟
⎠
3
−2
1
⎟
⎞
⎟
⎟
⎠
⎟
⎞
⎟
⎟
⎠
b :=
d :=
⎛
⎜
⎝
⎛
⎜
⎝
f :=
e = λ ⋅ f + µ ⋅ g →
h :=
⎛
⎜
⎜
⎜
⎝
4
−2
3
⎟
⎞
⎟
⎟
⎠
b :=
−5
2
−1
3
i :=
⎛
⎜
⎜
⎜
⎝
⎛
⎜
⎜
⎜
⎝
⎛
⎜
⎜
⎜
⎝
⎛
⎜
⎜
⎜
⎝
⎛
⎜
⎜
⎜
⎝
a = λ ⋅ b + µ ⋅ c( k)
→
4
−2
3
−2
2
−3
−10
⎛
⎜
⎜
⎜
⎝
⎞
⎟
⎠
⎞
⎟
⎠
2
−7
−2
3
2
0
−3
3
−2
1
⎛
⎜
⎜
⎜
⎝
2
1
−1
⎛
⎜
⎜
⎜
⎝
⎟
⎞
⎟
⎟
⎠
⎟
⎞
⎟
⎟
⎠
−1
⎟
⎞
⎟
⎟
⎠
⎟
⎞
⎟
⎟
⎠
=
⎟
⎞
⎟
⎟
⎠
⎟
⎞
⎟
⎟
⎠
2
−1
1
=
⎟
⎞
⎟
⎟
⎠
⎛
⎜
⎜
⎜
⎝
=
⎟
⎞
⎟
⎟
⎠
⎛
⎜
⎜
⎜
⎝
2 ⋅ λ − 2 ⋅ µ
⎛
⎜
⎜
⎜
⎝
=
λ − 2 ⋅ µ
−λ + 5 ⋅ µ
c :=
⎛
⎜
⎜
⎜
⎝
−10
2
−7
−2 ⋅ λ − 2 ⋅ µ
−2 ⋅ λ + 2 ⋅ µ
⎛
⎜
⎜
⎜
⎝
λ − 3 ⋅ µ
c( k)
a = λ ⋅ b
c = λ ⋅ d
g :=
j :=
:=
⎛
⎜
⎜
⎜
⎝
⎞
⎟
⎟
⎟
⎠
⎟
⎞
⎟
⎟
⎠
2
1
k
⎞ ⎟⎟⎟⎠
⎞ ⎟⎟⎟⎠
−2 ⋅ λ + 2 ⋅ µ
3 ⋅ λ + µ
−λ + k ⋅ µ
⎞
⎟
⎟
⎟
⎠
−2 = λ − 8
3 ≠ −6 + 5 ⋅ 4
I-II: −12 = − 4µ
I-2*II:
2 = −2λ + 6
−7 = 2 − 3 ⋅ 3
(8) Für welche Werte von k sind die Vektoren a, b, c linear abhängig ?
⎛
⎜
⎜
⎜
⎝
2 ⋅ λ − µ
− 2 ⋅ µ
⎛
⎜
⎜
⎜
⎝
−1
−2
7
−2
−2
5
⎟
⎞
⎟
⎟
⎠
−3 ⋅ λ + 7 ⋅ µ
⎟
⎞
⎟
⎟
⎠
→
→
⎞
⎟
⎟
⎟
⎠
⎛
⎜
⎝
⎛
⎜
⎝
2
4
2
⎞ ⎟⎠
−6
=
⎞
⎟
⎠
⎛
⎜
⎝
=
µ = 1
I-2*II:
−5 ⋅ λ
⎛
⎜
⎝
2 ⋅ λ
−λ
3 ⋅ λ
−1
⎞
⎟
⎠
⎞
⎟
⎠
8 = 2µ
4 = −8λ =
−3
2
1
1 = +
2
2
λ =
−5
λ = 2
λ = −2
λ = −2
3 = 2λ − 1
1 = −3λ + 7
⇒
⇒
+ µ
⇒
k 1
⋅
2
⇒
⇒
⇒
⇒
λ = 6
⇒
Widerspruch, linear unabhängig
µ = 4
⇒
⇒ linear abhängig
⇒ linear unabhängig
λ = 2
λ = 2
λ = 2
µ = 3
⇒ linear abhängig,
also in einer Ebene
−1
λ =
2
1
µ =
2
k = 1
⇒ linear abhängig