Die quadratische Gleichung ax2 + bx + c = 0 - MatheNexus
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⎛<br />
⎜<br />
⎝<br />
x +<br />
b<br />
2 ⋅ a<br />
2<br />
⎞<br />
⎟⎠<br />
Abkürzung: Sei<br />
⎛<br />
⎜<br />
⎝<br />
Also x +<br />
Durch a.<br />
b 2<br />
− 4ac<br />
4 a 2<br />
= Hauptnenner.<br />
⋅<br />
b<br />
2 ⋅ a<br />
b 2<br />
− 4ac<br />
2<br />
⎞<br />
⎟⎠<br />
4 a 2<br />
⋅<br />
= D (Mit D=Diskriminante, Bestimmende)<br />
= D Auf der linken Seite steht ein Quadrat. Links kann der Ausdruck also nie negativ<br />
werden. Der Ausdruck rechts schon. Dann hätte die <strong>Gleichung</strong> keine Lösung.<br />
Man braucht also eine Fallunterscheidung.<br />
(1) Fall: Sei D<br />
⎝<br />
⎝<br />
b<br />
2 ⋅ a<br />
2<br />
⎞<br />
⎟⎠<br />
= 0 Es gibt genau eine Lösung: L = {<br />
b<br />
− }<br />
2 ⋅ a<br />
(3) Fall: Sei D>0 Dann kann man die Wurzel ziehen und man bekommt endlich zwei Lösungen:<br />
b<br />
x + = D<br />
2 ⋅ a<br />
⎤<br />
⎥<br />
⎦<br />
MK 3.6.2003 Quad<strong>Gleichung</strong>.mcd<br />
a x 2<br />
2<br />
2<br />
b b<br />
⎢<br />
⎛ ⎞<br />
+ 2 ⋅ ⋅ x + ⎜ ⎟⎠ ⎥ ⎛ b ⎞<br />
⋅ − a ⋅ ⎜ ⎟⎠ + c = 0 Alles, was stört, aus der großen Klammer raus.<br />
2 ⋅ a 2 ⋅ a 2 ⋅ a<br />
⎣<br />
⎡<br />
⎢<br />
⎣<br />
⎡<br />
⎢<br />
⎣<br />
a x 2 b<br />
⋅ + 2 ⋅ ⋅ x +<br />
2 ⋅ a<br />
a x 2 b<br />
⋅ + 2 ⋅ ⋅ x +<br />
2 ⋅ a<br />
a ⋅ x +<br />
⎛<br />
⎜<br />
⎝<br />
⎛<br />
⎜<br />
⎝<br />
x +<br />
b<br />
2 ⋅ a<br />
b<br />
2 ⋅ a<br />
2<br />
⎞<br />
⎟⎠<br />
2<br />
⎞<br />
⎟⎠<br />
=<br />
⎝<br />
⎛<br />
⎜<br />
⎝<br />
⎛<br />
⎜<br />
⎝<br />
b<br />
2 ⋅ a<br />
b<br />
2 ⋅ a<br />
⎤<br />
⎦<br />
2<br />
⎞<br />
⎤<br />
⎟⎠ ⎥<br />
⎦<br />
2<br />
⎞<br />
⎤<br />
⎟⎠ ⎥<br />
⎦<br />
⎝<br />
b 2<br />
− + c = 0 Vereinfachen.<br />
4 ⋅ a<br />
b 2<br />
= − c Reste auf die andere Seite.<br />
4 ⋅ a<br />
b 2<br />
= − c Binom ausnutzen.<br />
4 ⋅ a<br />
b 2<br />
4 a 2<br />
⋅<br />
c<br />
−<br />
a
−4<br />
x := − → 1 L = { 1 }<br />
2 ⋅ 2<br />
Bsp.: 2x 2<br />
8<br />
+ 8x + 10 = 0 D<br />
2<br />
− 4 ⋅ 2 ⋅ 10<br />
4 2 2<br />
:= → −1<br />
D0, also (3) Fall.<br />
1<br />
0<br />
x1 := − −<br />
2 ⋅ 2<br />
2<br />
D → −4<br />
0<br />
x2 := − +<br />
2 ⋅ 2<br />
2<br />
D → 4 L = { -2 ; 2 }<br />
Bsp.: 2x 2<br />
( −4)<br />
− 4x + 2 = 0 D<br />
2<br />
− 4 ⋅ 2 ⋅ 2<br />
4 2 2<br />
:= → 0 D=0, also (2) Fall.<br />
⋅<br />
D neu<br />
4 a 2<br />
⋅<br />
D neu<br />
4 a 2<br />
⋅
Ein letztes Face-Lifting:<br />
b<br />
x1 = −<br />
2 ⋅ a<br />
−<br />
Dneu −b b<br />
2 ⋅ a<br />
2<br />
− − 4ac<br />
−b b<br />
= analog x2 2 ⋅ a<br />
2<br />
+ − 4ac<br />
=<br />
2 ⋅ a<br />
Bemerkung: Wenn man die <strong>Gleichung</strong> als erstes durch a dividiert<br />
x 2<br />
+<br />
b<br />
a x<br />
c<br />
+ = 0<br />
a<br />
und die Koeffizienten dann umtauft<br />
x 2<br />
+ p ⋅ x + q = 0<br />
erhält man die beliebte (weil effiziente) p-q-Formel (Herleitung analog):<br />
x1 =<br />
−p<br />
2<br />
−p<br />
x2 =<br />
2<br />
−<br />
+<br />
D pq<br />
D pq<br />
2<br />
⎛ −p<br />
⎞<br />
mit Dpq = ⎜ ⎟ − q zur Bestimmung der Fälle<br />
2<br />
⎝<br />
⎠