Extremwertaufgabe Minimale Dosenoberfläche - MatheNexus

GS - 01.03.2004 - AnwendgebrochenrtFkt_Dosenoberflaeche_i.mcd
Extremwertaufgabe Minimale Dosenoberfläche
- Teil der Abschlussaufgabe Nachtermin 99_Nichttechnik -
Aufgabentext:
Eine Dose, bestehend aus Zylinder, Halbkugel und Grundkreis, soll bei
vorgegebenem Volumen V = 15 VE eine möglichst kleine Oberfläche besitzen.

Lösung:
Zielfunktion Oberfläche: (1) O( r, h)
2 r 2
⋅ ⋅π r 2 := + ⋅π + 2⋅r⋅ π ⋅h
Nebenbedingung Volumen des Körpers: V( r , h)
r 2 := π ⋅h
r 2 π ⋅h
2
3 r3 + ⋅ ⋅π
= 15 ergibt Gleichung (2) h( r)
:=
Definitionsmenge: ID = { r I 0 < r
Bestimmung des Extremums:
d
1. Ableitung: Or( r)
:= O( r)
dr
Bedingung für die kleinste Oberfläche:
3
45
≤ }
2⋅π 10
3 r ⋅ π ⋅
30
r 2
→ −
10
3 r ⋅ π ⋅
30
r 2
− = 0 d.h.:
Funktionswert für kleinste Oberfläche: O( rmin) = 31.7
Vergleich mit Randwerten:
lim
+
r → 0
O( r)
→ ∞
−2
3 r ⋅
+
lim
−
r → rmax
( )
2
3 r3 + ⋅ ⋅π
15
r 2 ( ⋅π)
(2) in (1) eingesetzt: O( r, h)
2 r 2
⋅ ⋅π r 2 := + ⋅π + 2⋅r⋅ π ⋅
und vereinfacht die Zielfunktion: O( r)
⎡
⎢
⎣
5
3 r2
30
:= ⋅ ⋅π
+
r
O( r)
⎡
⎢
⎣
−2
3 r ⋅ +
Bedingung für maximalen Radius: h( r)
= 0 d.h. −2⋅π r 3
3
45
⋅ + 45 = 0 rmax ≡
2⋅π 15
r 2 ( ⋅π)
rmax = 1.928
1
3 r3
3
9
⋅ ⋅π − 3 = 0 rmin := rmin = 1.42
π
3
2 45
1
2
3
3 2
→ ⋅ ⋅ = 35.02
1
⎛
⎜
⎝
1
π
⎞ ⎟⎠
⎤⎤
⎥⎥⎦
⎦
3

FRAME von 0 bis 10. Die Animation dauert etwas lange, roter Kreis trennt Halbkugel von Zylinder
k1 := 0
k1 von 0 bis 10 eingeben, bei Animation k1=0 setzten.
Programmierung 3D-Darstellung
Zylinder mit aufgesetzter Halbkugel
( x , y,
z)
, ( X , Y , Z)
, ( Xk , Yk , Zk)
, ( x1 , y1,
z1)
Maßzahl der Oberfläche
38
37
36
35
34
33
32
Zielfunktion Oberfläche
31
0.5 1 1.5 2
Radius
r min
O( rmin) Nebenbedingung:
V( r)
= 15
Radius:
r = 0.913
rmin = 1.42
Höhe:
h( r)
= 5.12
( ) = 1.42
h r min
Oberfläche:
O( r)
= 37.225
O( rmin) = 31.685