Grundbegriffe der Vektorrechnung Skalar: Nur ... - FB 4 Allgemein

VEKTOR Seite 1 Prof.Dr.-Ing.A.Jahr
Grundbegriffe der Vektorrechnung
Skalar: Nur durch eine reelle Zahl bestimmt.
Bei physikalischen Größen reelle Zahl und Einheit
29.10.09
Beispiel : Masse, Zeit, Länge, Temperatur, Druck
Vektor: Durch Betrag, Richtung und Orientierung bestimmt, genügt den Regeln
der Vektoralgebra.
Bezeichnungsweise
Skalar :
lateinischer Buchstabe
Beispiele :
l, m, T, ...
Beispiel : Kraft, Ortsvektoren, Verschiebungen, Geschwindigkeiten,
Beschleunigungen, Momente, Drehungen, Drehgeschwindigkeiten und -
beschleunigungen
Grafische Darstellung : Durch Pfeil
Orientierung
Anfangspunkt
Bild 1/1
A
Endpunkt
Vektor :
lateinischer oder griechischer Buchstabe
mit darüber gesetztem Pfeil oder in
alternativer Schreibweise unterstrichen.
Beispiele :
rF
oder F - Kraft
r
v oder v - Geschwindigkeit
r
ω oder ω - Winkelgeschwindigkeit
PA oder PA - Verschiebung
von Punkt P nach A
Richtung

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Gleiche Vektoren :
A = B
29.10.09
A B
Bild 1/2
Betrag, Richtung, Orientierung sind gleich !
(Angriffspunkt muss nicht gleich sein ⇒ In der Vektorrechnung gibt es nur freie
Vektoren, im Gegensatz zu physikalischen Größen wie z.B. Kräften )
Summe ( Kommutativ - Gesetz )
A+B = B+A = R
Assoziativgesetz
A
R
Bild 1/3
( A+B )+C = A+( B+C ) = R
B
A
C
Bild 1/4
Nullvektor
A + 0 = A oder A + 0 = A
R
B
Negativer Vektor
C
A + B = 0 ⇔ B = - A
A
B
Bild 1/5
A
B
gleicher Betrag
gleiche Richtung
entgegengesetzte Orientierung
Assoziativgesetz der Multiplikation
m ( n A ) = ( n m ) A
B
R
Die Multiplikation mit einem Skalar ändert nur den Betrag, wen der Skalar negativ ist,
auch die Orientierung.
A
3A
-2A
Bild 1/6
A

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Komponenten eines Vektors
in der Ebene
y
A y
y 1
y 0
j
Bild 1/ 7
29.10.09
i
x 0
A α
A x
x 1
Komponenten eines Vektors
y
y
j
i
Bild 1/ 8
Koordinatenschreibweise der Basisvektoren
ix
iy
( i
=
=
=
1
0 ⇔
0 )
⎛ 1 ⎞ ⎛ jx
⎞
⎜ ⎟ ⎜ ⎟
i = ⎜ 0 ⎟ j = ⎜ jy
⎟
⎜ ⎟ ⎜ ⎟
⎝(
0 ) ⎠ ⎝(
j ) ⎠
z
x
x
Abkürzung
x
Ax= x1−
x
A = y − y
y
A = A Ay
= A
= A
A
= A
+
x
cos α
y
sin α
A
z
1
x 2
0
0
=
2
1. Ebene durch zwei
unabhängige
(rechtwinklige)
Achsen reeller Zahlen
bilden.
( im Raum: drei )
2. Basisvektoren hineinlegen.
Basisvektoren oder Basen
sind nominierte Vektoren,
die senkrecht aufeinander
stehen.
⎛ 0 ⎞
⎜ ⎟
⎜ 1 ⎟
⎜ ⎟
⎝(
0 ) ⎠
i
=
i j
i j
; j =
⇒ Einheitsvektoren
mit der Länge 1

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A y
y
y 1
y 0
j
Bild 1/ 9
29.10.09
i
x 0
A α
A x
x 1
In welchem Quadranten liegt ein Vektor ?
Betrachtung am Einheitskreis :
y
cosα -
sinα +
cosα -
sinα -
Bild 1/ 10
Distributivgesetz :
( )
m + n A = m A+ n A
m ( A+B ) = m A+m B
e
α
x
cosα +
sinα +
x
cosα +
sinα -
3. Komponenten eines
allgemeinen Vektors
Ax= x1
− x0⎫
x
⎬ A =
Ay= y1−
y0⎭
y y
A ⎛ x⎞
⎛ x1
− 0⎞
⎜ ⎟ = ⎜ ⎟
⎝ A y⎠
⎝ 1−0⎠ Symbolische Schreibweise
2 2
A = A = Ax + Ay cos α = α
Ax
Ay
; sin =
A A
A = A ⋅ i + A ⋅j
x
y
cos α : Projektion des Einheitsvektors
auf die x - Achse
sin α : Projektion des Einheitsvektors
auf die y - Achse

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Alle Gesetze in Koordinaten
⎛ A x ⎞ ⎛Bx
⎞ ⎛ A x + Bx
⎞
⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟
A + B = ⎜ A y ⎟ + ⎜By
⎟ = ⎜ A y + By
⎟
⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟
⎝ A z ⎠ ⎝Bz
⎠ ⎝ A z + Bz
⎠
⎛ A x ⎞ ⎛Bx
⎞
⎜ ⎟ ⎜ ⎟
m ( A + B)
= m ⎜ A y ⎟ + m ⎜By
⎟
⎜ ⎟ ⎜ ⎟
⎝ A z ⎠ ⎝Bz
⎠
Skalarprodukt oder inneres Produkt
⎛ ax⎞
⎜ ⎟
a ⋅ b = ⎜ ay⎟
⎜ ⎟
⎝ a ⎠
⋅
⎛bx⎞
⎜ ⎟
⎜by⎟
⎜ ⎟
⎝b
⎠
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z
z
= a
x
⋅ bx + ay⋅ by + az⋅bz ⇒ Skalar Größe
Wenn man ein Koordinatensystem in die durch a und b aufgespannte Ebene legt,
η
a
α
Bild 1/ 11
findet man :
δ
β
ab ⋅ = aξ ⋅ bξ + aη⋅bη = a⋅cos α⋅b⋅ cos β+ a⋅sinα⋅b⋅sinβ = ab ⋅ ( cos α⋅ cos β+ sinα⋅sinβ) 1444442444443 cos ( α−β) Additionstheorem
a⋅b = ab cos( α- β) = ab cosδ
b
ξ

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Anwendung : Mechanische Arbeit
s
W = F ⋅ ds
s
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2
∫
1
Mit F(s) = konst.
W = F ⋅ s
Bild 1/ 12
Rechengesetze :
ab ⋅ = ba ⋅ Kommutativgesetz
a (b+c) = a⋅b+a⋅ c Distributivgesetz
Bild 1/ 13
b
β
ϕ
c
b⋅ cos β + c⋅cos
γ
ar ⋅ ⋅cos
ϕ
ar ⋅ ⋅cos
ϕ
m(a⋅ b) = (ma) b = a (mb)
γ
=
=
=
a
r = b+c
r ⋅ cos ϕ
ab ( ⋅ cosβ+ c⋅cos
γ)
ab⋅ cos β+ ac ⋅cos
γ
Das Skalarprodukt zweier Vektoren, die senkrecht aufeinander stehen, ist Null.
i ⋅i = j ⋅j = k ⋅k= 11 ⋅ ⋅cos0
= 1
i ⋅j = j ⋅k= k ⋅i = 11 ⋅ ⋅ cos90 ° = 0
a a = a a cos0 = a 2
⋅ ⋅ ⋅
1
F
δ s
2
Die Projektion von
F auf s , also F⋅cos δ
wird mit der Länge
von s multipliziert.
Bei entgegen gerichteter
Projektion negatives
Vorzeichen.

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Anwendungen
a.) Ermittlung der Komponente eines Vektors in vorgegebener Richtung:
29.10.09
e
Bild 1/ 14
F
α
F e
b.) Mechanische Arbeit:
Eine äußere Kraft F deren Angriffspunkt längs einer Strecke s verschoben
wird, verrichtet die Arbeit F ⋅ s , d.h. die Projektion Ft der Kraft F auf die
Strecke s mal der Strecke.
W = F⋅s = F⋅s⋅cos α = F ⋅ s = Fs
+ F s + F s
Bild 1/ 15
Vektorprodukt oder äußeres Produkt
c = a × b
C hat folgende Eigenschaften:
F
α
F t
s
t x
1. c steht senkrecht auf der von a
und b aufgespannten Ebene.
2. |c| ist gleich der Maßzahl der Fläche des von a
und b aufgespannten Parallelogramms.
c = C = a ⋅ b ⋅ sinδ
e =
F
F
F
F
e
e
= F ⋅ e = F ⋅1⋅
cosα
= F ⋅ cosα
e
= F ⋅ e = ( F ⋅ e)
⋅ e
F t
e
e
α
e
⇒
x y y z z
s
e = 1
e
negative
Arbeit
a
δ
b
Bild 1/ 16
a sinδ

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3. a , b und c bilden in dieser Reihenfolge ein rechtshändiges System. Dreht man
a auf dem kürzesten Weg in b und dreht dabei eine Rechtsschraube um die
durch c beschriebene Achse, so bewegt sich die Schraube in positiver Richtung
von c .
29.10.09
c
Bild 1/ 17
Rechengesetze
a × b = - b × a
b
δ
a
a b sinδ
a × ( b + c ) = a × b + a × c Distributivgesetz
m ( a × b ) = ma × b = a × mb
i × i = j × j = k × k = 0
i × j = k j × i = - k
j × k = i k × j = - i
k × i = j i × k = - j
a
×
⎛ ax⎞
bx
⎜ ⎟
b = ⎜ ay⎟
by
⎜ ⎟
⎝ a ⎠ b
×
⎛ ⎞
⎜ ⎟
⎜ ⎟
⎜ ⎟
⎝ ⎠
z
z
=
⎛ aybz
− azby⎞ ⎜
⎟
⎜ ab z x − ab x z⎟
⎜
⎝ ab − ab
⎟
⎠
x y y x
a × b = c
b ×
a = - c

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Durchführung :
Beweis:
Zuhaltemethode
a = a x⋅i + a y⋅j + az⋅k
b = b x⋅i + b y⋅j + bz⋅k
a × b = (a x⋅i + a y⋅j + a z⋅ k) × (b x⋅i + b y⋅j + bz⋅k)
= ax ⋅ i × b x⋅i +ax⋅ i × b y⋅j +ax⋅ i × bz⋅k
+ ay ⋅ j × b x⋅i +ay⋅ j × b y⋅j +ay⋅ j × bz⋅k
+ a ⋅ k × b ⋅i +a ⋅ k × b ⋅j +a ⋅ k × b ⋅k
29.10.09
z
x z y z z
} 0 }
k
-j
}
a × b = ab x x i × i + a xby i × j + a xbz
i × k
}
-k 678 0 }
i
+ a ybx j × i + a yby j × j + a ybz
j × k
j
} }
-i
} 0
+ a b k× i + a b k× j + a b k× k
⎛ ax⎞
⎜ ⎟
⎜ ay⎟
⎜ ⎟
⎝ a ⎠
×
z
z x z y z z
= ( ab y z −ab
z y)
i
+ ( ab z x −ab
x z)
j
+ ( ab −ab)
k
=
x y y x
⎛ ab y z − ab z y⎞
⎜
⎟
⎜ ab z x − ab x z⎟
⎜
⎝ ab − ab
⎟
⎠
x y y x
Zuhaltemethode
⎛bx⎞
⎜ ⎟
⎜by
⎟
⎜ ⎟
⎝b
⎠
z
⎛ ax⎞
⎜ ⎟
⎜ ay⎟
⎜ ⎟
⎝ a ⎠
×
z
q.e.d
Indizes werden zyklisch vertauscht
⎛bx⎞
⎜ ⎟
⎜by
⎟
⎜ ⎟
⎝b
⎠
je Zeile erstes Produkt minus zweites Produkt
Falls
+ -
folgt a || b
a × b = 0 mit a,b ≠ 0
z
⎛ ax⎞
⎜ ⎟
⎜ ay⎟
⎜ ⎟
⎝ a ⎠
×
z
+
⎛bx⎞
⎜ ⎟
⎜by
⎟
⎜ ⎟
⎝b
⎠
z

VEKTOR Seite 10 Prof.Dr.-Ing.A.Jahr
Das Spatprodukt
Bild 1/ 18
29.10.09
a . ( b × c )
b x c
a
c
α
b
Das Ergebnis des Spatproduktes ist ein skalarer Wert, der dem Volumen des von
a , b und c aufgespannten Spates entspricht.
⎛a
⎜
⎜a
⎜
⎝a
x
y
z
⎞ ⎛b
⎟ ⎜
⎟ ⋅ ⎜b
⎟ ⎜
⎠ ⎝b
y
z
x
⋅ c
⋅ c
⋅ c
z
x
y
− b
− b
− b
z
x
y
⋅ c
⋅ c
⋅ c
y
z
x
⎞
⎟
⎟ = a
⎟
⎠
Das doppelte Vektorprodukt
a × ( b × c
( a
× b ) × c
) = b ( a
= b ( a
⋅ c
) - c ( a
⋅ c ) - a ( b ⋅ c )
x
( b ⋅ c − b ⋅ c ) + a ( b ⋅ c − b ⋅c
) + a ( b ⋅c
− b ⋅c
)
y
⋅ b )
z
z
y
Vektoren, die auf der linken Seite in Klammern stehen, treten rechts außerhalb der
Klammern auf. Der mittlere Vektor kommt zuerst und jeder Summand enthält a, b, c
genau einmal.
Bei einer Folge von endlichen Drehungen im Raum ist die Reihenfolge nicht beliebig.
Matrix, Matrizen
Eine Matrix A ist ein geordnetes Schema mit den Elementen aij:
A =
⎛a
⎜
⎜ M
⎜
⎝a
n
11
1
L
a
ij
L
a1
M
a
m
nm
⎞
⎟
⎟
⎟
⎠
Der Doppelindex ij gibt die Stellung des Elementes aij im rechteckigen Schema des
Matrix A an, wobei i die Zeile und j die Spalte kennzeichnet, in der aij zu finden ist.
y
z
x
x
z
z
x
y
y
x

VEKTOR Seite 11 Prof.Dr.-Ing.A.Jahr
Matrizen - Multiplikation
Das Matrix - Produkt ist wie folgt definiert :
A
=
29.10.09
⎛ a L a1
⎜
⎜ M aij
M
⎜
⎝ a L a
A ⋅ B = C
11 m
11
n1nm ⎞
⎟
⎟
⎠
c = a11b
+ a b + LL+
a b
M M
11 11 12 12 1m m1
m
∑
c = ( a ⋅ b )
ij ik
k=1
Falksches Schema
Bild 1/ 19
Beispiel :
⎛ 1 2
⎜
A = ⎜ 4 5
⎜
⎝7
8
2. addieren
x
x
1. multiplizieren
a11 L a1
M M
a L a
m
n1nm 3⎞
⎟
6 ⎟
9⎠
1 2
4 5
7 8
3
6
9
kj
B
=
b11 L b
M M
b L b
1l
m1ml 3 1
2 0
5 4
22 13
52 28
82 43
B =
⎛ b L b1l
⎞
⎜
⎟
⎜ M bij
M ⎟
⎜
⎟
⎝b
L b ⎠
m1ml ⎛ 3
⎜
⎜ 2
⎜
⎝ 5
1⎞
⎟
0 ⎟
4⎠

VEKTOR Seite 12 Prof.Dr.-Ing.A.Jahr
Gaußverfahren zur Lösung linearer Gleichungssysteme
Beispiel
Gleichungssystem
05 , ⋅F 1 + 0,7 ⋅F
2 = 50N
-0,7F + 0,9 ⋅F
= - 30N
29.10.09
1 2
Matrizenschreibweise
⎛ 05 , 07 , ⎞
⎜ ⎟
⎝−07
, 09 , ⎠
⎛ ⎞ ⎛ ⎞
⎜ ⎟ ⎜ ⎟
⎝ ⎠ ⎝ ⎠
F1
50
= N
F -30
2
Rechenschema
F1 F2 G Regie
0,5 0,7
- 0,7 0,9
50
-30
+ ⋅ 07 ,
= 1,4⋅
05 ,
0 1,88 40
Dreiecksförmiges Gleichungssystem ausgeschrieben
0,5 ⋅F
+ 0,7 ⋅F
1
1,88F
2
2
= 50 N
= 40 N
= 21,28
0,5 ⋅F1
+ 0,7 ⋅ 21,28 N = 50 N
0,5 F1
= 50 N - 0,7 ⋅ 21,28 N = 35,11N
F = 70,21N
1
⇒
F
2
Wenn das Gleichungssystem auf eine Dreiecksform gebracht wurde, bei dem in der
untersten Zeile alle Koeffizienten bis auf einen alle Null sind, nennt man das
sukzessive Lösen der Gleichungen von unten nach oben auch
„Rückwärtseinsetzen“.
N

VEKTOR Seite 13 Prof.Dr.-Ing.A.Jahr
Cramer - Regel zur Lösung ( kleiner ) linearer Gleichungssysteme
1. Matrizen - Schreibweise einführen
29.10.09
a
a
11
21
⋅ c
1
⋅ c
1
+ a
+ a
12
22
⋅ c
⋅ c
= b
= b
⎛a11
a12
⎞ ⎛ c1
⎞ ⎛ b1
⎞
⎜
=
a21
a ⎟
⎜
22 c ⎟
⎜
2 b ⎟
⎝ ⎝
2
14243
⎠{
⎠ ⎝{
⎠
A c b
Index - Schreibweise
∑ a ⋅ c = b
j
ij
j
Falksches Schema
2. Determinante
det A = A =
i
2
2
1
2
a a
a a
3. Cramersche - Regel
x
11 12
21 22
Ai
ci =
Ai
A
x
+
c 1
c 2
a 11 a 12 b 1
a 21 a 22 b 2
= a11⋅a
−a ⋅a
:
22 21 12
i - te Spalte wird durch b
ersetzt