Aufgaben (CAS)

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Für jede reelle Zahl t mit 0 t < 5 durch y f ( x) = ( 5 − t) ⋅ t − x 2 Aufgabe A1 < ist eine Funktion ft gegeben = t ( x ∈ R; x ≤ t) . a) Untersuchen Sie für t = 4 den Graphen der Funktion f4 auf Schnittpunkte mit den Koordinatenachsen sowie auf lokale Extrempunkte und geben Sie gegebenenfalls deren Koordinaten an! Welche Information über das Verhalten der Funktion f4 gewinnen Sie aus der Ableitungsfunktion f ′ 4 ? Berechnen Sie den Inhalt der Fläche A4, die vom Graphen der Funktion f4 und den Koordinatenachsen vollständig eingeschlossen wird! Berechnen Sie für x > 0 die Koordinaten des Schnittpunktes S der Graphen von f4 und seiner Umkehrfunktion f 4 ! g 1 = 3 teilt das Flächenstück A 4 aus Teilaufgabe a). Überprüfen Sie, ob die Gerade g die Fläche A 4 halbiert! Die Geradenschar g m mit der Gleichung g m( x) = m x m ∈ R; m > 0 hat für jedes m mit dem Graphen von b) Die Gerade g mit der Gleichung ( x) x ( ) f4 genau einen Punkt T gemeinsam. Ermitteln Sie den Wert des Anstiegs m für den Fall, dass die Tangente an den Graphen von f4 im Punkt T senkrecht auf der Geraden gm steht! Die Teilfläche, die von der Geraden g, dem Graphen von f 4 und der x-Achse vollständig begrenzt wird, rotiert um die x-Achse. Welches Volumen besitzt der entstehende Rotationskörper? 7 BE 8 BE
c) Es sei S der Schnittpunkt des Graphen der Funktion f4 mit der x-Achse und O(0; 0) der Koordinatenursprung. Zeigen Sie, dass es genau einen Punkt Po ( xo ; f4 ( xo ) ) des Graphen von f4 gibt, so dass gilt: OP o ⊥ SP o ! d) Die Achsenabschnitte, die der Graph von f4 mit den beiden Koordinatenachsen bildet, stehen im Verhältnis 1 : 2. Untersuchen Sie, ob es Parameterwerte t gibt, so dass die Schnittpunkte des Graphen von f t mit den Koordinatenachsen vom Koordinatenursprung O(0; 0) gleich weit entfernt sind! Beweisen Sie, dass es genau ein t ∈ R gibt, so dass sich die 2 Graphen von f t und die Parabel h( x) = 3x − x im Punkt B(2; 2) berühren! Diskutieren Sie, ob das Produkt ft ( x) ⋅ f ′ t ( x) mit x < t positive Werte annehmen kann! e) Wir betrachten nun die Funktion p ( t) mit ( t) ft ( 2) Für welchen Wert des Parameters t ( 2 < t < 5) ist p( t) 3 p = . extremal? Geben Sie diesen extremalen Funktionswert der Funktion p(t) an! 3 BE 8 BE 4 BE
Seite 1: ABITURPRÜFUNG 2003 LEISTUNGSFACH M
Seite 5 und 6: 5 Das Flächenstück rotiert um die
Seite 7 und 8: ⎛ 4 ⎞ ⎛ 2 ⎞ c) Begründen S
Seite 9 und 10: 9 e) Durch eine Kontrolle soll die

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