Musterlösung zur Übungsklausur (PDF) - Fakultät VII Wirtschaft ...

Professor Dr. Christian Wey
Technische Universität Berlin
Fakultät VIII Wirtschaft und Management
FG Netzwerke und Iuk-Ökonomie
Übungsklausur
Netzwerk- und Informationsgüterökonomik
SS 2006
09.06.06; 12-13 Uhr
Die Übungsklausur dauert 60 Minuten.
Aufgabe 1. (30 Punkte)
Wir betrachten den Komponentensatz, der im Buch von Oz Shy vorgestellt wird. Wir
unterstellen zwei Firmen A und B, die zwei streng komplementäre Komponenten eines
Produktsystems (wie Hard- und Software) produzieren. Es sei Xj die erste Komponente
und Yj die zweite Komponente der Firma j = A; B. Die Produktionskosten seien gleich
null. Wir unterstellen vier Gruppen von Verbrauchern (jeweils mit der Größe 1), die mit
AA, AB, BA, und BB bezeichnet werden. Jeder Verbraucher hat eine ideale Kombination
von Komponenten, so dass etwa ein AA Verbraucher das Produktsystem XAYA wählen
würde, wenn die Preise der Komponenten der beiden Hersteller gleich sind. Entsprechend
würde etwa ein BA Verbraucher, das Produktsystem XBYA wählen. Jeder Verbraucher
fragt maximal eine Einheit der Komponente X und Y nach.
Ein Verbraucher, der das Produktsystem XiYj kauft, zahlt den Gesamtpreis p X i + p Y j
für das System (i; j = A; B). Wir bezeichnen mit Uij den Nutzen des Verbrauchers ij,
dessen Idealsystem XiYj, mit ij 2 fAA; AB; BA; BBg ist. Der Parameter > 0 steht für
den Bruttonutzen des Systems, und > 0 misst die Nutzeneinbuße, wenn ein Verbraucher
nicht seine ideale Komponente kauft. Wir erhalten dann die folgende Nutzenfunktion
8
><
(p
Uij :=
>:
X i + pY j )
(p
beim Kauf des Systems XiYj
X j + pY j ) beim Kauf des Systems XjYj
(pX i + pY i )
(p
beim Kauf des Systems XiYi
X j + pY 0
i ) 2 beim Kauf des Systems XjYi
sonst.
Beantworten Sie die folgenden Fragen:
1

1. Erklären Sie kurz die Bedeutung von Kompatibilität im Komponentenansatz. Was
ist der wesentliche Unterschied zum Netzwerkexternalitätenansatz (network exter-
nality approach)?
2. Unterstellen Sie, dass die Komponenten der Anbieter nicht kompatibel sind. Be-
rechnen Sie die Preise und Firmengewinne im UPE (=undercut proof equilibrium).
(Hinweis: Unterstellen Sie eine Gleichgewichtskombination, in der der Anbieter A
die Konsumentengruppen AA, AB und BA beliefert. Warum kann es kein UPE
geben, in dem sich die beiden Anbieter den Markt gleichmäßig aufteilen?)
3. Unterstellen Sie nun, dass die Komponenten kompatibel sind. Berechnen Sie wieder
die Preise und Gewinne im UPE.
4. Bestimmen Sie die Anreize der Firmen, sich auf Kompatibilität zu einigen.
5. Berechnen Sie die Konsumentenrente bei Kompatibilität und Inkompatibilität. Er-
klären Sie kurz das Ergebnis.
Lösungen.
Ad 1.
Beim Komponentenansatz bewirkt Kompatibilität eine Erhöhung der Produktvielfalt,
die sozial wünschenswert ist. Beim Netzwerkexternalitätenansatz führt Kompatibilität zu
einer größeren Nutzermenge, die unmittelbar positiv auf des Nutzenniveau der Nutzer
einwirkt.
Ad 2.
Es sei pii := p X i + p Y i mit i = A; B. Wir erhalten dann die folgenden Bedigungen,
die das Preispaar (pAA; pBB) erfüllen muss, damit die im Aufgabentext vorgeschlagene
Konstellation ein UPE ist:
pBB = maxf3pAA; 4(pAA 2 )g (1)
3pAA = 4(pBB 2 ). (2)
Ein mildes Unterbieten ist pro…tabler als ein strenges Unterbieten, wenn 3pAA 4(pAA
2 ) ist, was der Fall ist, wenn der UPE Preis pAA 8 erfüllt.
Unterstellen wir nun den Fall eines milden Unterbietens, dann erhalten wir aus den
Gleichungen (1) und (2) die Lösungen pAA = (8=9) und pBB = (8=3) . O¤ensichtlich
ist dann auch die Bedingung pAA 8 erfüllt, so dass es sich tatsächlich um ein UPE
handelt.
2

Die symmetrische Marktaufteilung kann nur dann ein UPE sein, wenn beide Firmen
einen Preis von null setzen. Nehmen wir etwa an, dass bei einer symmetrischen Marktauf-
teilung die Gruppen AA und AB bei Firma A und die Gruppen BA und BB bei Firma B
kaufen. Dann muss ein UPE-Preispaar (pAA; pBB) die folgenden Unterbietungsgleichungen
erfüllen:
2pAA = maxf3pBB; 4(pBB 2 )g
2pBB = maxf3pAA; 4(pAA 2 )g.
Die einzige Lösung ist dann, dass beide Firmen einen Preis von null setzen. Es existiert
also kein UPE mit positiven Preisen bei der symmetrischen Marktaufteilung (angenommen
alle Gruppen sollen bedient werden).
Ad 3.
Bei Kompatibilität kann jeder Käufer sein ideales System zusammenstellen. Der sym-
metrische Fall, wo die Gruppen AA und AB die X-Komponente bei Firma A und die
Gruppen BA und BB die X-Komponente bei Firma B kaufen, ist jetzt der relevante
Kandidat für ein UPE (entsprechendes gilt für die Y -Komponente). Die Komponenten-
preise müssen dann die folgenden Unterbietungsbedingungen erfüllen:
2p X B = 4(p X A )
2p X A = 4(p X B )
2p Y B = 4(p Y A )
2p Y A = 4(p Y B ).
Wir erhalten dann die UPE-Preise pX A = pXB = pYA = pYB = 2 .
(Anmerkung: Es läßt sich leicht sehen, dass bei alternativen Konstellationen, die ein-
zige Lösung Preise von null sind, so dass wir diese Konstellationen ausschließen.)
Ad 4.
Die Gewinne der Firmen sind (I indiziert Inkompatibilität und C steht für Kompati-
bilität):
I
A = 3 pAA = 3 ( 8
9
I
B = 1 pBB = 1 ( 8
) = 8
3
C
A = 2 p
8
) =
3 3
X A + 2 p Y A = 4 + 4 = 8
C
B = 2 p X B + 2 p Y B = 4 + 4 = 8 .
3

Wir sehen also, dass sich beide Firmen bei Kompatibilität besser stellen, wenn die Kosten
der Kompatibilität nicht größer als 8 (8=3) = (16=3) sind.
Ad 5.
Die Konsumentenrente bei Inkompatibilität ist
und bei Kompatibilität
CS I = UAA + UAB + UBA + UBB
8 8
= ( ) + 2( ) + (
9 9
22
= 4
3
CS C = UAA + UAB + UBA + UBB
= 4( 4 )
= 4 16 ,
so dass die Konsumentenrente bei Inkompatibilität größer ist. Der Grund hierfür ist, dass
der Wettbewerbsdruck bei Kompatibilität abgeschwächt wird, was zu erheblich höheren
Preisen führt. Bei Inkompatibilität werden die beiden Anbieter für die Gruppen AB und
BA "homogener", was den Preiswettbewerb verstärkt.
Aufgabe 2. (30 Punkte)
Wir betrachten das von Katz und Shapiro (1985) entwickelte Oligopolmodell mit Netz-
werkexternalitäten. Hier wird eine Industrie mit i = 1; :::; n ex ante symmetrischen Fir-
men betrachtet, deren Produktionskosten gleich null sind. Die inverse Marktnachfrage ist
pi = A+v(y e i ) z, wobei z := P n
i=1 xi der Gesamtoutput aller Firmen ist. Mit y e i wird die
erwartete Netzwerkgröße der Firma i bezeichnet, wobei bei Kompatibilität y e i = P n
i=1 xe i
und bei Inkompatibilität y e i = x e i (für alle i = 1; :::; n) ist. Bei gegebenen Erwartungen
der Verbraucher hinsichtlich der Netzwerkgrößen der Firmen, erhalten wir bei Cournot-
Wettbewerb die folgenden optimalen Ausbringungsmengen der Firmen:
xi = A + nv(ye i ) P
j6=i v(ye j)
für alle i = 1; :::; n. (3)
n + 1
Beantworten Sie nun folgende Fragen:
1. Erklären Sie kurz die Funktion v(y e i ). Welche Annahmen machen Katz und Shapiro
hinsichtlich dieser Funktion.
2. Was verstehen Katz und Shapiro unter einem ful…lled expectations Cournot equili-
brium (kurz: FECE)?
4
8
3 )

3. Charakterisieren Sie die symmetrische Gleichgewichtslösung bei Kompatibilität und
Inkompatibilität. Zeigen Sie, dass der Gesamtoutput der Industrie bei n aktiven
Firmen immer größer bei Kompatibilität sein muss.
4. Unter welchen Bedingungen kann ein asymmetrisches Gleichgewicht (im Sinne eines
FECE) existieren, bei dem nur k < n Firmen positive Verkaufszahlen realisieren?
5. Warum ist die soziale Wohlfahrt (für gegebene Anzahl von n Firmen und Kompa-
tibilitätskosten gleich null) maximal bei ‡ächendeckender Kompatibilität?
6. Wovon hängt es ab, ob sich am Markt eine ‡ächendeckende Versorgung mit kompa-
tiblen Produkten durchsetzt?
Lösungen
Ad 1.
Annahmen über v(:):
Ad 2.
v(0) = 0; v 0 > 0; v 00 < 0; lim
y!1 v 0 = 0.
In einem FECE maximieren alle Firmen Ihren Gewinn für gegebene Mengen der Kon-
kurrenten und gegebene Erwartungen der Verbraucher hinsichtlich der Netzwerkgrößen
y e i , wobei nur solche Erwartungen zulässig sind, die rational sind; also im Gleichgewicht
erfüllt werden.
Ad 3.
Bei Kompatibilität ist die erwartete Netzwerkgröße für jede Firma gleich der Gesamt-
ausbringungsmenge der Industrie, so dass
y e i = z e =
Einsetzen von z e in das Gleichungssystem (3) gibt für alle i = 1; :::; n
nX
i=1
x e i .
xi = A + v(ze )
.
n + 1
Aufsummieren aller Gleichungen und Anwendung der Bedingung rationaler erfüllter Er-
wartungen (d.h., z e = z C , wobei der Index C für den Gleichgewichtswert steht) gibt
n + 1
n zC = A + v z C .
5

O¤ensichtlich existiert eine Lösung, weil die LHS linear ansteigt in z und die RHS streng
konkav (und wegen limy!1 v 0 = 0 auch hinreichend stark konkav) ansteigt. In der ein-
deutigen symmetrischen Lösung ist dann x C = z C =n.
Bei Inkompatibilität ist y e i = x e i . Für die symmetrische Lösung gilt x I = z I =n. Einset-
zen dieser Beziehung in das Gleichungssystem (3) gibt für alle i
x i =
A + nv zI (n 1)v n zI
n
n + 1
so dass wir durch Aufsummieren aller Gleichungen die Gleichgewichtsbedingung
n + 1
n zI = A + v
erhalten. Auch diese Bedingung hat eine eindeutige Lösung, wie im vorhergehenden Fall
dargestellt wurde. Wegen z=n < z und v 0 > 0 ist o¤ensichtlich z C > z I , so dass entspre-
chend x C > x I ist.
Ad 4.
Ein asymmetrisches Gleichgewicht kann nur bei Inkompatibilität entstehen, weil bei
Kompatibilität die erwarteten Netzwerkgrößen für alle Firmen gleich der erwarteten Ge-
samtausbringungsmenge ist. In einem asymmetrischen Gleichgewicht mit k < n aktiven
Firmen und n k inaktiven Firmen seien die Erwartungen hinsichtlich der k aktiven Fir-
men symmetrisch, so dass x i = z k =k für alle aktiven Firmen und x j = 0 für alle n k
inaktiven Firmen gilt. Aufsummieren des auf k Firmen reduzierten Gleichungssystems (3)
ergibt dann
k + 1
k zk = A + v
z I
n
z k
k
,
. (4)
Dann sind die Ausbringungsmengen der n k inaktiven Firmen optimalerweise tatsächlich
gleich null, wenn der maximal erzielbare Preis nicht-postiv ist (gegeben die asymetrischen
Erwartungen), d.h.
A + v(0) z k
| {z }
pj 0
erfüllt ist. Nun ist A z k , wenn die RHS von (4), also der Term A + v(:), größer als die
LHS von (4), also k+1z,
an der Stelle z = A ist. Das ist der Fall, wenn
k
oder
0
k + 1
A
A A + v
k k
A
k
v A
k
6

ist, was um so eher gilt, je stärker die Netzwerkexternalitätenfunktion ansteigt; also je
ausgeprägter die Netze¤ekte sind.
Ad 5.
Für den symmetrischen Fall läßt sich die soziale Wohlfahrt, W , als Summe von Pro-
duzentenrente und Konsumentenrente, S, wie folgt schreiben:
W :=
nX
i=1
i + S =
nX
i=1
x 2 i + z2
2 .
O¤ensichtlich steigt die soziale Wohlfahrt monoton in z an. Im Gleichgewicht produzieren
alle Firmen mit positiven Ausbringungsmengen xi = A + v(y e i ) z). Aufaddieren für alle
Firmen gibt dann
so dass z wegen
(n + 1)z = nA +
nX
v(z)
i=1
| {z }
Netzwerkwert bei
Kompatibilität
immer größer bei Kompatibilität sein muss.
Ad 6.
>
nX
v(y e i ),
i=1
nX
v(xi)
i=1
| {z }
Netzwerkwert bei
Inkompatibilität
Die Antwort hängt entscheidend davon ab, ob wir bei Inkompatibilität eine symmetri-
sche oder eine asymmetrische Lösung unterstellen. Im ersten Fall sind die Interessen der
Firmen gleich, so dass nur die Höhe der Kompatibilitätskosten entscheidend ist. Da die
Vorteile der Verbraucher nicht vollständig internalisiert werden können, sind die Anreize
allgemein zu klein.
Unterstellen wir eine asymmetrische Situation bei Inkompatibilität, dann müssen wir
zusätzlich den Interessenkon‡ikt zwischen großen und kleinen Firmen beachten. Eine große
Firma wird dann grundsätzlich weniger bereit sein, einen industrieweiten Standard zu
befürworten, während die kleinen (oder gar inaktiven Firmen) durch Kompatibilität nur
gewinnen können. Sind nun Seitenzahlungen möglich, dann erleichtert das grundsätzlich
die Einführung eines Industriestandards. Wenn einseitig durch Adapter kompatibilität
erreicht werden kann, dann können die kleinen Firmen sogar aus sozialer Sicht zu große
Kompatibilitätsanreize haben.
Aufgabe 3. (Bonusaufgabe 15 Punkte)
7

Beschreiben Sie intuitiv, die Existenz eines symmetrischen excess inertia-Ergebnisses
in der zweistu…gen Modellvariante mit unvollständiger Information im Artikel von Farrell
und Saloner (1985).
Lösung
Die Autoren zeigen die Existenz eines symmetrischen Mitläufergleichgewichts (band-
wagon equilibrium), wobei die Firmen in Abhängigkeit ihres Typs, i 2 [0; 1], der ihre
Bereitschaft auf den neuen Standard zu wechseln angibt, entweder bei dem alten Stan-
dard verbleiben oder wechseln, wenn die andere Firma in der ersten Periode auf den
neuen Standard gewechselt ist, oder immer in der ersten Periode sofort auf den neuen
Standard wechseln. In einem symmetrischen Gleichgewicht haben beide Firmen die glei-
chen kritischen Werte für die Einteilung des Intervalls i 2 [0; 1], die ihr optiomale Strategie
angibt. Ein symmetrisches exzessives Verharren (symmetric excess inertia) tritt nun auf,
wenn sich zwar beide Firmen durch einen koordinierten Wechsel auf den neuen Standard
besser stellen (also B i (2; Y ) > B i (2; X) gilt), jedoch die Firmen in dem beschriebenen
Gleichgewicht des Spiels nicht wechseln, weil ihre optimale Strategie besagt, nur dann zu
wechseln, wenn die andere Firma in der ersten Periode bereits auf den neuen Standard
gewechselt ist. In diesem Fall sprechen die Autoren von einer Situation, wo sich beide
Firmen abwartend verhalten, so dass im Ergebnis keiner wechselt.
8