Handout: Cournot- Bertrand-Oligopol mit differenzierten Gütern

Technische Universität Berlin
FG Netzwerke und IuK-Ökonomie
Prof. Dr. Christian Wey
E-Mail: cwey@diw.de
Das lineare Cournot- und Bertrand-Oligopol mit di¤erenzierten Gütern
(Handout zur Vorlesung “Wettbewerbspolitik”im SS 2006)
01. Juni 2006
In diesem Handout soll das lineare Cournot- und Bertrand-Oligopol-Modell vorgestellt
und die Unterschiede zwischen beiden Modellen herausgearbeitet werden. Besonderes
Gewicht wird auf die komparative Statik bezüglich des Produktdi¤erenzierungsparameters
gelegt.
1 Herleitung der linearen Nachfragen
Wir betrachten eine Ökonomie mit einem oligopolistischen Sektor, in dem i = 1; 2 Firmen
jeweils ein Gut anbieten. Des Weiteren existiert ein Numeraire-Sektor z, in dem perfekter
Wettbewerb herrscht. Der Preis des Numeraire-Guts ist auf eins normiert, so dass pz = 1
ist. Der Output der Firmen i = 1; :::; N sei qi. In der Ökonomie haben wir ein Kontinu-
um an Konsumenten des gleichen Typs mit einer Nutzenfunktion, die separierbar und
linear im Numeraire-Gut ist. Des Weiteren ist die Nutzenfunktion U des repräsentativen
Konsumenten quadratisch und streng konkav in qi. Es sei U : R 2 + ! R de…niert durch:
U(q1; q2) = qz + q1 + q2
1
2 q2 1 + q 2 2 q1q2: (1)
Die Budgetbeschränkung ist durch qz+p1q1+p2q2 I gegeben, wobei pi der Preis des Pro-
duktes i und I das Einkommen des repräsentativen Konsumenten ist. Strenge Konkavität
erfordert, dass der Grenznutzen der Güter streng positiv ist. Außerdem muss die erste
Hauptdeterminante der Hesse-Matrix streng negativ und die zweite Hauptdeterminante
streng positiv sein. Wir betrachten den Fall substitutiver Güter, sodass > 0 gilt. Die
Aufstellung der Larange-Funktion gibt:
max
qi;qz 0 L (q1; q2; qz) = qz + q1 + q2
+ (I qz p1q1 p2q2) :
1
1
2 q2 1 + q 2 2 q1q2 (2)

Wir erhalten die folgenden Bedingungen erster Ordnung für ein Nutzenmaximum, aus
denen sich die Nachfragefunktionen für die di¤erenzierten Produkte des monopolistischen
Sektors herleiten lassen:
@L
@q1
@L
@q2
@L
@qz
= 1 = 0 ) = 1;
= 1 q1 q2 p1 = 0; (3)
= 1 q2 q1 p2 = 0: (4)
Wir erhalten die inversen Nahfragefunktionen für die beiden Güter unmittelbar durch
Einsetzen von = 1 in die Gleichungen (3) und (4)und Au‡ösen nach p1 und p2 1 :
p1 = 1 q1 q2; (5)
p2 = 1 q2 q1: (6)
Durch das Au‡ösen dieser Gleichungen nach q1 und q2 erhalten wir die direkte Nachfrage-
funktion 2 :
mit a
q1 = a bp1 + cp2; (7)
q2 = a bp2 + cp1; (8)
1
1 2 , b 1
1 2 und c 1 2 . Die Nachfrage nach den Gütern 1 und 2 ist frei von
Einkommense¤ekten. Wir kommen zu dem gleichen Ergebnis, wenn wir annehmen, dass
der repräsentative Konsument seinen Überschuss
(CS =consumer surplus) auf dem monopolistischen Markt maximiert; i.e.:
max
q1;q2 0 CS = U (q1; q2) p1q1 p2q2; (9)
mit U (q1; q2) = q1 + q2
1
2 q2 1 + q 2 2
q1q2.
In Anlehnung an die Produktionstheorie können wir dann sagen, dass der Konsument
Nutzeneinheiten (utils) mit der „Nutzentechnologie“ U (q1; q2) maximiert. Hierbei ist der
Preis einer Nutzeneinheit auf eins normiert. Diese Spezi…kation erlaubt eine partielle
Wohlfahrtsanalyse, in der wir ausschließlich die Konsumentenrente und die Produzen-
tenrente des monopolistischen Sektors betrachten. Für eine partielle Wohlfahrtsanalyse
verwenden wir die Konsumentenrente, wie sie in Gleichung (9) dargestellt ist.
1 Wir unterstellen, dass beide Preise positiv sind.
2 Wir unterstellen, dass die Outputs positiv sind.
2

Des Weiteren machen wir folgende Beobachtungen: Die Güter sind Substitute für
> 0, unabhängig für = 0 und Komplemente für < 0. Für = 1 sind die Güter
perfekte Substitute. Die Nachfrage nach dem Gut i ist immer fallend im eigenen Preis und
steigt (fällt) mit zunehmenden Preisen für das andere Produkt, wenn die Güter Substitute
(Komplemente) sind.
Aus der Nutzenfunktion (1) sehen wir, dass eine Erhöhung von die Nutzenfunktion
nach unten verschiebt ( @U
@ = q1q2 < 0) und die inversen Nachfragefunktionen (5)
und (6) nach innen um den Punkt pi = 1 rotiert. Der direkte E¤ekt von auf pi ist
@pi
@ = qj < 0. Wenn wir unterstellen, dass p1 = p2 = p gilt, so sieht man, dass sich
auch die direkte Nachfragefunktionen (7) und (8) nach innen verschieben, wenn die Güter
homogener werden (i.e. steigt):
@qi
@
= @
@
1
1
2
1
1 2 p + p =
1 2
1
2 (p 1) < 0; (10)
( + 1)
weil annahmegemäßp 1 gilt. Wir halten also fest, dass eine Erhöhung von c.p. die
Nachfrage nach beiden Gütern vermindert.
2 Gleichgewichtswerte und Produktdi¤erenzierung
2.1 Das Cournot-Duopolmodell
Wir betrachten zunächst das Cournot-Doupolmodell. Die inversen Nachfragefunktionen
sind durch (5) und (6) gegeben. Die marginalen Kosten der Unternehmen seien Null. Das
Nash-Gleichgewicht für das Cournot-Modell q C 1 ; q C 2 mit q C i = arg max
qi 0 (1 qi q C j )qi,
für i = 1; 2 und i 6= j, ist dann 3 :
Und wir erhalten als Gleichgewichtspreis
Und als Gleichgewichtsgewinn
q C = 1
2 +
p C = q C = 1
2 +
C = q C 2 =
: (11)
: (12)
1
2 : (13)
(2 + )
3 Im folgenden unterdrücken wir die Indizes, weil die Lösungen symmetrisch sind.
3

Veränderungen von wirken sich wie folgt aus:
@qC @
@pC @
@ C
@
=
=
=
1
(2 +
< 0;
) 2 (14)
1
(2 +
2 < 0;
)
(15)
2
(2 +
3 < 0:
)
(16)
Die Ausbringungsmenge und die Gewinne der Unternehmen sinken, wenn die Produkte
homogener werden. Ebenso fällt der Marktpreis mit steigendem . Die Mengenreaktion
lässt sich unmittelbar aus den Reaktionsfunktionen Ri (qj) der Unternehmen ablesen:
1 qj
Ri (qj) = . Wir sehen, dass eine Erhöhung von eine Rotation der Reaktionsfunk-
2
tionen und den Punkt qi = 1 nach innen bewirkt, so dass sich die Gleichgewichtsmengen
2
für beide Unternehmen gleichermaßen verringern. Es folgt, dass sich der Gewinn der
Unternehmen, der durch C = q C 2 gegeben ist, und der Marktpreis, der als p C = q C
geschrieben werden kann, ebenfalls verringern, wenn sich erhöht.
2.2 Das Bertrand-Duopolmodell
Wir betrachten jetzt das Bertrand-Duopolmodell. Das Nash-Gleichgewicht p B 1 ; p B 2 mit
p B i = arg max
pi 0 a bpi + cp B j pi, für i = 1; 2 und i 6= j ist
Und wir erhalten 4
p B = a
2b c
q B = bp B =
B = b p B 2 =
= 1
2
; (17)
(
1
+ 1) (2
;
)
(18)
(2
1
) 2 (1 +
:
)
(19)
Es ergeben sich dann die folgenden Wirkungen einer Veränderung von auf die Gleich-
gewichtswerte p B , q B und B :
4 Der Gewinn für den Bertrand-Fall ist im Buch von Oz Shy [1960] auf Seite 140 falsch dargestellt.
4

@p B
@
@q B
@
@ B
@
=
=
1
2 < 0; (20)
(2 )
2 1
( + 1) 2 (2 ) 2 (21)
) @qB
< 0 für
@
1 @qB
< und > 0 für
2 @
1
>
2 ;
=
2 2 ( 2 +
2 + 2
) 3 < 0:
( + 1)
(22)
Für den Marktpreis und den Unternehmensgewinn erhalten wir im Cournot- und im
Bertrand-Duopolmodell das gleiche Ergebnis. Für die Gleichgewichtsmengen ist die Rich-
tung der Wirkung einer Erhöhung von nur dann gleich in beiden Modellen, wenn = 1
2
gilt.
Dieses Ergebnis kann man sich folgendermaßen erklären: Wir betrachten die Gleich-
gewichtsoutputs entlang der Gleichgewichtspreise (p B 1 = p B 2 = p B in Abhängigkeit von
und erhalten q B ; p B ( ) = a( ) (b ( ) c ( )) p B ( ) . Das totale Di¤erential nach
ist dann
dp B
d
Für den direkten E¤ekt da
d
da
=
d
db
d
dc
d
p B
| {z }
direkter E¤ekt
db
d
dc
d
wurde) einen negativen Zusammenhang
@q
@
= @
@
1
1
2
(b c) dpB
:
d
| {z }
indirekter E¤ekt
p B erhalten wir (wie schon in Gleichung (10) gezeigt
1
1 2 p + p =
1 2
1
2 (p 1) < 0: (23)
( + 1)
Der indirekte E¤ekt leitet sich aus dem Ein‡uss von auf die Gleichgewichtspreise
ab. Wir wissen bereits aus Gleichung (20), dass die Gleichgewichtspreise im Bertrand-
Duopolmodell mit abnehmender Produktdi¤erenzierung fallen. Weil ( 1) (b c) immer
negativ ist, gilt dann, dass der indirekte E¤ekt positiv sein muss.
In der Tat erhalten wir
( 1) (b c) d
d
1
2
(b c)
= ( 1) 2 > 0: (24)
(2 )
Wir halten fest: Mit zunehmendem sinkt einerseits die Nachfrage nach den Produkten
(direkter E¤ekt) und andererseits steigt die Nachfrage, weil die Preise sinken (indirekter
E¤ekt). Der Gesamte¤ekt ist in der Gleichung (21) berechnet. Man sieht, dass für
eine relativ große Produktdi¤erenzierung, so dass = 1=2 gilt, der direkte E¤ekt den
5

indirekten E¤ekt dominiert. Sind die Produkte jedoch relativ homogen, so dass > 1=2
gilt, so überwiegt der indirekte E¤ekt und die Gleichgewichtsoutputs der Unternehmen
steigen. Wenn die Produkte sehr homogen werden, dann wächst die Konkurrenz (gemessen
in niedrigeren Gleichgewichtspreisen) stark an, sodass die Konsumenten, trotz geringerer
Wertschätzung für die Produkte, mehr konsumieren.
2.3 Die soziale Wohlfahrt
Die soziale Wohlfahrt SW ist die Summe aus Konsumentenrente CS und Produzenten-
rente P R, P R = 1 + 2. Wir wenden uns zunächst dem Cournot-Modell zu. Durch
Einsetzen der Gleichgewichtswerte q C und p C in den Ausdruck für die Konsumentenrente
aus (9) erhalten wir
Ableiten nach gibt
CS C (p C ; q C ) = 2q C
=
@CS C
@
(q C ) 2
(q C ) 2
1
2 (2 + 2 ) .
2 ( + 2)
= ( + 2) 3
2p C q C
(25)
< 0: (26)
Die Konsumentenrente fällt also, wenn die Produkte homogener werden. Aus (16) wissen
wir bereits, dass die Gewinne ebenfalls negativ mit korreliert sind. Aus diesem Grunde
sinkt die soziale Wohlfahrt mit geringerer Produktdi¤erenzierung; es gilt dann
Dieses Ergebnis erhalten wir auch durch direktes Einsetzen von q C in SW C :
Und wir erhalten
dSW C
d
< 0.
SW C = U q C 1 ; q C 2 p C 1 q C 1 p C 2 q C 2 + C 1 + C 2 (27)
= U q C 1 ; q C 2 (28)
C 2
q
C 2
q
= 2q C
(29)
=
3 +
2 :
( + 2)
(30)
@SW C
@
=
1
3 ( + 4) : (31)
( + 2)
Wir betrachten jetzt den Bertrand-Fall. Einsetzen der Gleichgewichtswerte aus den
Gleichungen (17) und (18) in den Ausdruck für die Konsumentenrente (9) ergibt:
CS B = 2q B
=
B 2
q
1
( + 1) ( 2) 2
6
B 2
q
2p B q B
(32)

und wir erhalten durch Ableitung nach
dCS B
d
= 3 ( + 1) 2 (2 ) 3
> 0: (33)
Im Gegensatz zum Cournot-Modell steigt im Bertrand-Modell die Konsumentenrente,
wenn die Güter homogener werden. Für die soziale Wohlfahrt erhalten wir dann
SW B = CS B + 2 B = U q B 1 ; q B 2 (34)
= 2q B
=
B 2
q
B 2
q
3 2
(2 ) 2 . (35)
( + 1)
Ableiten nach gibt
dSW B
=
d
4 2 7 + 4
( + 1) 2 3 < 0
(2 )
(36)
Wir erhalten das gleiche Ergebnis wie im Cournot-Modell. Die soziale Wohlfahrt sinkt,
wenn die Produkte homogener werden. Die insgesamt erzielbare Tauschrente, die durch
die Nutzenfunktion U (q1; q2) wiedergegeben ist, fällt mit einer geringeren Produktdif-
ferenzierung kontinuierlich.
2.4 Cournot- versus Bertrand-Doupolmodell
Wir vergleichen die Preise, die Ausbringungsmengen, die Gewinne, die Konsumentenrente
und die soziale Wohlfahrt, die sich im Nash-Gleichgewicht des Cournot- und des Bertrand-
Modells einstellen. Für die Preise erhalten wir:
Vergleichen der Menge gibt
Und für die Gewinne erhalten wir
p C
q C
p B > 0:
q B < 0:
C B > 0:
Schließlich ergibt sich für die Konsumentenrente
Und für die soziale Wohlfahrt erhalten wir
CS C CS B < 0:
SW C
SW B < 0:
Der Vergleich des Cournot- mit dem Bertrand-Modell ergibt also folgende Resultate für
den Fall di¤erenzierter Substitute (0 < < 1):
7

1. Der Marktpreis ist bei Cournot-Konkurrenz immer größer als bei
Bertrand-Konkurrenz.
2. Die Ausbringungsmengen der Unternehmen sind bei Bertrand-
Konkurrenz immer größer als bei Cournot-Konkurrenz.
3. Die Unternehmensgewinne sind im Cournot-Modell immer größer als im Bertrand-
Modell.
4. Die Konsumentenrente ist bei Bertrand-Konkurrenz immer größer als bei Cournot-
Konkurrenz.
5. Die soziale Wohlfahrt ist im Bertrand-Modell immer größer als im Cournot-Modell.
Bertrand-Konkurrenz ist schärfer als Cournot-Konkurrenz, weil die Preise im Bertrand-
Modell bei Produktdi¤erenzierung immer kleiner sind als im Cournot-Modell. Oder an-
ders ausgedrückt: Cournot-Konkurrenz ist „monopolistischer“ als Bertrand-Konkurrenz.
Singh und Vives [1984, S. 549] führen folgende Begründung für dieses Ergebnis an:
„Die Unternehmen haben im Bertrand-Modell einen kleineren Spielraum, den
Preis zu erhöhen, weil die erachtete Preiselastizität der Nachfrage eines Un-
ternehmens größer ist, wenn der Preis des Konkurrenzunternehmens als gegeben
angenommen wird, als wenn die Menge des Konkurrenzunternehmens als gegeben
angenommen wird. Im ersten [Bertrand-] Fall ist der absolute Wertider Steigung
der erachteten Nachfragefunktion eines Unternehmens und im
h 1
1 2
zweiten [Cournot-] Fall ist er [1]. Das Ergebnis ist, dass die Unternehmen bei
Bertrand-Konkurrenz niedrigere Preise setzen als bei Cournot-Konkurrenz.“
(Singh und Vives [1984, S.549], Übersetzung und Hinzufügung C.W.)
Der Vergleich der Gleichgewichtwerte zeigt auch, dass bei maximaler Produktdi¤erenz-
ierung, mit = 0, die Unterschiede zwischen beiden Modellen verschwinden. Wir be…nden
uns dann im Monopolfall. Der Konkurrenztyp wird damit immer unwichtiger, je di¤eren-
zierter die Produkte sind.
3 Ein Beispiel
In folgender Tabelle sind die Gleichgewichtswerte im Cournot- sowie Bertrand-Fall aufge-
führt und als Funktion von dargestellt.
8

Cournot
Bertrand
Preis Menge Gewinn CS SW
1
2+
1
2
1
2+
1
( +1)(2 )
1
(2+ ) 2
1
(2 ) 2 (1+ )
2+2
2( +2) 2
1
( +1)( 2) 2
3+
( +2) 2
3 2
(2 ) 2 ( +1)
In den nachstehenden Abbildungen sind die Preise, die Mengen, die Gewinne, die
Konsumentenrenten und die soziale Wohlfahrt in Abhängigkeit von dargestellt. Die
fett gezeichneten Kurven geben den Cournot-Fall an.
0.6
0.5
0.4
0.3
0.2
0.1
0.0
0.0 0.2 0.4 0.6 0.8 1.0
0.3
0.2
0.1
Preise
0.0
0.0 0.2 0.4 0.6 0.8 1.0
Gewinne
9
0.6
0.5
0.4
0.3
0.2
0.1
0.0
0.0 0.2 0.4 0.6 0.8 1.0
1.0
0.8
0.6
0.4
0.2
Outputs
0.0
0.0 0.2 0.4 0.6 0.8 1.0
Konsumentenrente

4 Literatur
0.8
0.6
0.4
0.2
0.0
0.0 0.2 0.4 0.6 0.8 1.0
Soziale Wohlfahrt
Singh, N. und Vives, X. [1984], Price and Quantity Competition in a Di¤erentiated
Duopoly, Rand Journal of Economics, 15, 546-554.
Vives, X. [1985], On the E¢ ciency of Bertrand and Cournot Equilibria with Product
Di¤erentiation, Journal of Economic Theory, 36, 166-175.
10