3.2.3.2 Periodisches Bestandsmanagement - WINFOR

3.2.3.2 Periodisches Bestandsmanagement
Im Folgenden werden Modelle untersucht, die eine
Betrachtung des Bestandsverlaufs über mehrere Perioden
erlauben und somit längerfristige Effekte abbilden
Dabei wird davon ausgegangen, dass Überbestände auch in
den folgenden Perioden noch verwendet werden können und
Fehlmengen Nachbestellungen in den folgenden Perioden
auslösen
Zudem soll es (zunächst) möglich sein, Bestellungen in Nullzeit
zu erhalten, d.h. Lieferzeiten werden vernachlässigt
Wir können also am Anfang einer Periode bestellen und erhalten
in derselben Periode noch die entsprechende Lieferung
Des weiteren gehen wir von einem Zielbestand S aus, der jeweils
am Anfang einer jeden Periode auf dem Lager vorhanden sein
soll
Wirtschaftsinformatik und Operations Research 467

Variablen des Modells
Wir vereinbaren als Parameter
Xt: Bestellmenge in Periode t
It: Lagerbestand am Anfang der Periode t
Y : Nachfrage in Periode t
t
Alle diese Größen sind Zufallsvariablen
Damit ergibt sich die Bestellmenge aus dem Lagerbestand, der
zu Beginn einer Periode bekannt ist, durch die einfache Formel
X t = S−It Negative Bestände repräsentieren Fehlmengen, die durch eine
nachfolgende Bestellung auszugleichen sind
Wirtschaftsinformatik und Operations Research 468

Kostenfunktion
Wir wollen wiederum die erwarteten Kosten pro Periode
minimieren
Dazu ist zunächst zu determinieren, welche Kostenbestandteile
auftreten können und wie sich diese berechnen lassen
Variable Bestellkosten c fallen je bestellter Einheit an
Lagerhaltungskosten h fallen mit dem Lagerbestand an, der am
Ende einer jeden Periode noch vorliegt. Diese werden durch den
Lagerhaltungskostensatz h monetär bewertet
Strafkosten p (Penalty Cost) fallen pro Einheit an, die als
Fehlmenge auftritt (Kosten der Rückstellung einer Nachfrage)
Wirtschaftsinformatik und Operations Research 469

Direkter Zusammenhang
Wir bestellen in jeder Periode soviel, dass wir schließlich den
Bestand S erreichen
Das heißt also, es gilt Xt = S−It Darüber hinaus gilt
I = I + X − Y = I + S −I − Y = S −Y
⇔ S − I = Y
Man sieht
t t−1 t−1 t−1 t−1 t−1 t−1 t−1
t t−1
Wir bestellen einfach in jeder Periode genau den Verbrauch der letzten
Periode
X t=Yt−1 Wenn man einen positiven Endbestand erhält, dann fallen Lagerkosten
an
Wenn ein negativer Endbestand auftritt, dann fallen Fehlmengenkosten
an
Wirtschaftsinformatik und Operations Research 470

Konsequenz
Fehlmengen‐ und Lagerhaltungskosten treten also immer bei
positiven oder negativen Beständen am Anfang einer Periode
auf
Da der Anfangsbestand einer Periode dem Endbestand der
Vorperiode entspricht, müssen wir uns also zur
Determinierung dieser Kosten lediglich den Bestand am Ende
der einzelnen Perioden anschauen
Damit ergibt sich für die Anfangsbestände I = S −Y
Fehlmengen und Überbestände hängen somit lediglich von Y t
ab, d.h. wir müssen unterscheiden ob gilt
S < Y t oder S >
Y t
t+1
Wirtschaftsinformatik und Operations Research 471
t

Die erwarteten Gesamtkosten
Da variable Bestellkosten entscheidungsirrelevant sind,
können wir für die erwarteten Gesamtkosten einer
Periode festhalten
( S ) = h ⋅ E(
max{ S −Y
, 0}
) + p ⋅ E(
max{
Y − S,
0}
)
Z t
t
Dies ist offensichtlich die Zielfunktion des Newsvendor
Problems, wenn man c u durch p und c o durch h ersetzt
Somit erhalten wir als optimales Bestellniveau
S
∗
= −1
F
⎛
⎜
⎝
p
p + h
⎞
⎟
⎠
Wirtschaftsinformatik und Operations Research 472

Am Beispiel
Wir betrachten als Beispiel wieder einen Händler
Diesmal soll ein Elektronikteilhändler betrachtet werden, der
sich auf spezielle Adapter für Hardwarebastler spezialisiert hat
Wir betrachten die wöchentliche Nachfrage, wobei der
Händler lediglich am Freitag bestellt und am Montagmorgen
vor Geschäftseröffnung die entsprechende Lieferung erhält
Da keine Verkäufe am Wochenende erfolgen, liegt hier die im
Modell unterstellte Lieferung in Nullzeit vor
Wir gehen wiederum von einer normalverteilten Nachfrage mit
dem Erwartungswert μ=100 Stück/Woche und einer
Standardabweichung von 50 Stück/Woche aus
Wirtschaftsinformatik und Operations Research 473

Bestimmung des optimalen Bestandes S*
Wir unterstellen die folgenden Kostensätze
Lagerhaltungskosten h=0,5 €/Stück je Woche
Fehlmengenkosten p=3 €/Stück je Woche
Damit erhalten wir
⎛ p ⎞ ⎛ 3 ⎞
S = F ⎜ = F ≈ F
p+ h
⎟ ⎜
3,5
⎟
⎝ ⎠
⎝ ⎠
∗ −1 −1 −1
Damit können wir z* direkt in der Tabelle der
Standardnormalverteilung ablesen und erhalten
z*=1,07 und damit
S*=100+1,07 . 50=153,5 Stück pro Woche
( 0,8571)
Wirtschaftsinformatik und Operations Research 474

Erwartete Kosten
Wir können wiederum die Formel des Newsvendor
Problems direkt einsetzen und erhalten somit als
einfache Berechnung
( ∗) ( ) ( ∗)
σ ( )
Z S = p+ h ⋅ f z ⋅ = 3,5 ⋅ f 1,07 ⋅50
01 01
= 3,5 ⋅0,2251⋅ 50 = 39,3925 €/Woche
Setzt man einen Verkaufspreis von 10€ und
Einkaufskosten von c=4€ an, erhalten wir damit als
erwarteten Gewinn
( ∗
S ) Z( ∗
μ S )
Π = ⋅6− = 600 − 39,3925 =
560,6075 €/Woche
Wirtschaftsinformatik und Operations Research 475