Mathematik III für Bauwesen 1. Übungsblatt

(c) Für y(0) = −2 ergibt sich die Lösung y(x) = −x − 2. Für diese Anfangsbedingung fällt der nichtlineare Teil der
allgemeinen Lösung weg.
Aufgabe G2 (Trennung der Veränderlichen)
Lösen Sie die folgenden Anfangswertprobleme durch Trennung der Veränderlichen und verifizieren Sie Ihre Lösung
anschließend durch Differenzieren.
(a) y ′ = y 4 , y(9) = − 1
3 ,
(b) y ′ = x y 2 + x, y(0) = 1.
Lösung:
(a) Mit Trennung der Veränderlichen erhalten wir die allgemeine Lösung der Differentialgleichung:
Aus der Anfangsbedingung y(9) =
gegeben durch:
d y
d x = y′ = y 4 d y
❀ “ = 1 · d x ”
y4
⇒
⇒
y −4 d y =
1d x
1
−3 y−3 = x + c, c ∈
1
−
⇒ y(x) = (−3(x + c)) 3 =
−1
3 3(9+c)
−1
3
3(x + c)
, c ∈ .
!
= − 1
folgt c = 0 und damit ist die Lösung des Anfangswertproblems
3
y(x) = −1
3 3x .
(b) Da y ′ = x y2 + x = x(y 2 + 1) ist, können wir die allgemeine Lösung der Differentialgleichung durch Trennung der
Veränderlichen berechnen und erhalten:
d y
d x = x(y2
1
+ 1) ⇒
y2
d y = xd x
+ 1
2 x
⇒ arctan(y) = + c, c ∈
2
2 x
⇒ y(x) = tan + c , c ∈ .
2
Aus y(0) = tan(c) ! = 1 folgt c = arctan(1) = π
und damit ist die Lösung des Anfangswertproblems gegeben durch:
4
2 x
y(x) = tan
2
π
+ .
4
Aufgabe G3 (Inhomogene lineare Differentialgleichung I)
Gegeben sei das folgende Anfangswertproblem einer inhomogenen linearen Differentialgleichung 1. Ordnung
y ′ x + y = 1 + x (x > 0), y(1) = 2.
(a) Lösen Sie die korrespondierende homogene Differentialgleichung, d.h. bestimmen Sie die Menge aller Lösungen.
(b) Bestimmen Sie die spezielle Lösung des Anfangswertproblems der inhomogenen Differentialgleichung.
Lösung:
(a) Die korrespondierende homogene Differentialgleichung lautet y ′ x + y = 0. Wir erhalten die homogene Lösung
durch Trennung der Veränderlichen:
d y y
= −
d x x ⇒
1 1
d y = − d x
y x
⇒ ln |y| = − ln |x| + c = ln(|x| −1 ) + c, c ∈
⇒ yh(x) = 1
x · (±ec ), c ∈ bzw. yh(x) = C · 1
,
x
C ∈ .
2