Mathematik III für Bauwesen 1. Übungsblatt

(b) Für die Bestimmung einer speziellen Lösung nutzen wir die Variation der Konstanten:
y s(x) = C(x) · e − sin(x) ,
⇒ y ′
s (x) = C ′ (x) · e − sin(x) − C(x) · e − sin(x) cos(x).
Setzen wir dies in die inhomogene Differentialgleichung ein, erhalten wir:
C ′ (x) · e − sin(x) − C(x) · e − sin(x) cos(x) = y ′
s (x) = − cos(x) y s(x) + 3 cos(x) = − cos(x) C(x) · e − sin(x) + 3 cos(x).
Daraus ergibt sich dir Differentialgleichung:
C ′ (x) = 3 cos(x) · e sin(x)
Damit ist C(x) = 3e sin(x) + ˜C mit ˜C ∈ und y s(x) = 3e sin(x) · e − sin(x) = 3 eine spezielle Lösungen der Differentialgleichung.
Die Menge aller Lösungen der inhomogenen Differentialgleichung wird also von allen Funktionen der
Form y(x) = y s(x) + y h(x) = 3 + C · e − sin(x) mit C ∈ gebildet.
Aufgabe H3 (Klassifikation von Differentialgleichungen) (6 Punkte)
Klassifizieren Sie die folgenden Differentialgleichungen nach den Kategorien gewöhnlich oder partiell sowie linear oder
nichtlinear. Stellen Sie auch jeweils die Ordnung der Differentialgleichung fest.
1. y ′′ + x y 2 + x 3 = 0
2. y 2 · z x x + 2x y · z x y + x 2 · z y y = 0
3. y ′ = sin(y) + x 2
4. z 2 · z x + x · z y = 1
x 2 + y 2
5. cos(x)y ′′′ + x 2 y ′ = sin(x)
6. y ′ = y + y
x 2 + x
Lösung:
1. gewöhnlich, nichtlinear, 2. Ordnung
2. partiell, linear, 2. Ordnung
3. gewöhnlich, nichtlinear, 1. Ordnung
4. partiell, nichtlinear, 1. Ordnung
5. gewöhnlich, linear, 3. Ordnung
6. gewöhnlich, linear, 1. Ordnung
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