Blatt 7

Aufgabe 33. Zeigen Sie � ∞ 1
dλ(x) = ∞,
x
wobei λ das Lebesgue-Mass auf R.
1
Beweis. Der Integrand f : [1, ∞[ → ]0, 1] , x ↦→ 1/x ist klar messbar, da für α ∈ ]0, 1] gilt [f > α] =
[1, 1/α[ und also [f > α] ∈ L1 mit λ[f > α] = 1/α − 1.
Wir unterteilen ]0, n] in Intervalle
und schätzen f auf
�
i − 1
In,i :=
i
,
2n 2n �
En,i := f −1 (In,i) =
mit i ∈ {1, . . . , n2 n }
� 2 n
i
�
2n
,
i − 1
durch i−1
dass tn ↗ f. Mit dem Satz von Levi ist damit
� ∞ � ∞
tn dλ ↗ f dλ für n → ∞.
2n ab. Wir definieren die Treppenfunktionen tn := �n2n i=1 i−1
2n · χEn,i
1
1
und man sieht leicht,
Wir müssen also nur noch die Integrale der tn berechnen. Dazu bemerken wir, dass für n ∈ N>0
beliebig En,1 = [2 n , ∞[ und f wird auf En,1 durch 0 abgeschätzt. Insbesondere ist dann also 0·χEn,1
die konstante Nullfunktion und dieser Summand leistet keinen Beitrag zur Treppenfunktion tn und
. Damit rechnen wir nun leicht, dass
wir haben also tn = � n2 n
i=2 i−1
2 n · χEn,i
� ∞
n2
tn dλ =
1
n
� i − 1
2
i=2
n
� 2 n
i − 1
� n2
2n
− =
i
n
�
i=2
i − 1
2n i2n − (i − 1)2n i(i − 1)
Dies ist eine harmonische Reihe und divergiert also für n → ∞. Also ist
� ∞
� ∞
tn dλ ↗ ∞ = f dλ für n → ∞.
1
1
=
n2n � 1
i
i=2
.
�